Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 697 / 1481
↖ ↑ ↗
← S 62.349609°
W 57.480469°		 ← 9 070.83 m → S 62.349609°
W 57.304687°		 →
↑
9 058.48 m
↓
↑
9 058.48 m
↓
S 62.431074°
W 57.480469°		 ← 9 046.21 m →
82 056 416 m²		 S 62.431074°
W 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340576171875 y=0.723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340576171875 × 211)
    floor (0.340576171875 × 2048)
    floor (697.5)     		tx = 697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723388671875 × 211)
    floor (0.723388671875 × 2048)
    floor (1481.5)     		ty = 1481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 697 / 1481 ti = "11/697/1481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/697/1481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 697 ÷ 211
    697 ÷ 2048     		x = 0.34033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1481 ÷ 211
    1481 ÷ 2048     		y = 0.72314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00322344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72314453125 × 2 - 1) × π
    -0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00322344} λ = -1.00322344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4020584400874))-π/2
    2×atan(0.246089880944632)-π/2
    2×0.24129517881-π/2
    0.482590357620001-1.57079632675     		φ = -1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00322344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 697 KachelY 1481 -1.00322344 -1.08820597 -57.480469 -62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 698 KachelY 1481 -1.00015547 -1.08820597 -57.304687 -62.349609
    Unten links KachelX 697 KachelY + 1 1482 -1.00322344 -1.08962780 -57.480469 -62.431074
    Unten rechts KachelX + 1 698 KachelY + 1 1482 -1.00015547 -1.08962780 -57.304687 -62.431074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08820597--1.08962780) × R
    0.00142182999999996 × 6371000     		dl = 9058.47892999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08820597--1.08962780) × R
    0.00142182999999996 × 6371000     		dr = 9058.47892999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00322344--1.00015547) × cos(-1.08820597) × R
    0.00306797000000003 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 9070.83208457639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00322344--1.00015547) × cos(-1.08962780) × R
    0.00306797000000003 × 0.462815337370534 × 6371000     		du = 9046.20564824604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08820597)-sin(-1.08962780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.462815337370534)×R²
    abs(-1.00015547--1.00322344)×0.00125991967037298×R²
    0.00306797000000003×0.00125991967037298×6371000²
    0.00306797000000003×0.00125991967037298×40589641000000     		ar = 82056416.1121575m²