Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69686 / 72498
↖ ↑ ↗
← S 18.776316°
E 11.398315°		 ← 289.17 m → S 18.776316°
E 11.401062°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
S 18.778916°
E 11.398315°		 ← 289.17 m →
83 604 m²		 S 18.778916°
E 11.401062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531665802001953 y=0.553119659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531665802001953 × 217)
    floor (0.531665802001953 × 131072)
    floor (69686.5)     		tx = 69686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553119659423828 × 217)
    floor (0.553119659423828 × 131072)
    floor (72498.5)     		ty = 72498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69686 / 72498 ti = "17/69686/72498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69686/72498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69686 ÷ 217
    69686 ÷ 131072     		x = 0.531661987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72498 ÷ 217
    72498 ÷ 131072     		y = 0.553115844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531661987304688 × 2 - 1) × π
    0.063323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19893813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553115844726562 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.333736695154831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19893813} λ = 0.19893813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333736695154831))-π/2
    2×atan(0.716242347481454)-π/2
    2×0.621543895834985-π/2
    1.24308779166997-1.57079632675     		φ = -0.32770854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19893813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32770854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.776316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69686 KachelY 72498 0.19893813 -0.32770854 11.398315 -18.776316
    Oben rechts KachelX + 1 69687 KachelY 72498 0.19898607 -0.32770854 11.401062 -18.776316
    Unten links KachelX 69686 KachelY + 1 72499 0.19893813 -0.32775392 11.398315 -18.778916
    Unten rechts KachelX + 1 69687 KachelY + 1 72499 0.19898607 -0.32775392 11.401062 -18.778916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32770854--0.32775392) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32770854--0.32775392) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19893813-0.19898607) × cos(-0.32770854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946782390783174 × 6371000     		do = 289.171712323898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19893813-0.19898607) × cos(-0.32775392) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946767783149785 × 6371000     		du = 289.16725077666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32770854)-sin(-0.32775392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946782390783174-0.946767783149785)×R²
    abs(0.19898607-0.19893813)×1.46076333891187e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46076333891187e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46076333891187e-05×40589641000000     		ar = 83603.5180588953m²