Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6968 / 2169
↖ ↑ ↗
← N 78.660288°
W 26.894531°		 ← 480.40 m → N 78.660288°
W 26.872559°		 →
↑
480.50 m
↓
↑
480.50 m
↓
N 78.655967°
W 26.894531°		 ← 480.58 m →
230 876 m²		 N 78.655967°
W 26.872559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425323486328125 y=0.132415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425323486328125 × 214)
    floor (0.425323486328125 × 16384)
    floor (6968.5)     		tx = 6968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132415771484375 × 214)
    floor (0.132415771484375 × 16384)
    floor (2169.5)     		ty = 2169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6968 / 2169 ti = "14/6968/2169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6968/2169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6968 ÷ 214
    6968 ÷ 16384     		x = 0.42529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2169 ÷ 214
    2169 ÷ 16384     		y = 0.13238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13238525390625 × 2 - 1) × π
    0.7352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30979157129279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46939812} λ = -0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30979157129279))-π/2
    2×atan(10.0723250745208)-π/2
    2×1.47183867264289-π/2
    2.94367734528579-1.57079632675     		φ = 1.37288102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37288102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.660288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6968 KachelY 2169 -0.46939812 1.37288102 -26.894531 78.660288
    Oben rechts KachelX + 1 6969 KachelY 2169 -0.46901463 1.37288102 -26.872559 78.660288
    Unten links KachelX 6968 KachelY + 1 2170 -0.46939812 1.37280560 -26.894531 78.655967
    Unten rechts KachelX + 1 6969 KachelY + 1 2170 -0.46901463 1.37280560 -26.872559 78.655967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37288102-1.37280560) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dl = 480.5008199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37288102-1.37280560) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dr = 480.5008199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46939812--0.46901463) × cos(1.37288102) × R
    0.000383489999999986 × 0.19662576243667 × 6371000     		do = 480.39897088028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46939812--0.46901463) × cos(1.37280560) × R
    0.000383489999999986 × 0.196699709574332 × 6371000     		du = 480.579639620696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37288102)-sin(1.37280560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19662576243667-0.196699709574332)×R²
    abs(-0.46901463--0.46939812)×7.39471376626777e-05×R²
    0.000383489999999986×7.39471376626777e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.39471376626777e-05×40589641000000     		ar = 230875.505283891m²