Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6966 / 2166
↖ ↑ ↗
← N 78.673242°
W 26.938476°		 ← 479.86 m → N 78.673242°
W 26.916504°		 →
↑
479.99 m
↓
↑
479.99 m
↓
N 78.668926°
W 26.938476°		 ← 480.04 m →
230 371 m²		 N 78.668926°
W 26.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425201416015625 y=0.132232666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425201416015625 × 214)
    floor (0.425201416015625 × 16384)
    floor (6966.5)     		tx = 6966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132232666015625 × 214)
    floor (0.132232666015625 × 16384)
    floor (2166.5)     		ty = 2166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6966 / 2166 ti = "14/6966/2166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6966/2166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6966 ÷ 214
    6966 ÷ 16384     		x = 0.4251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2166 ÷ 214
    2166 ÷ 16384     		y = 0.1322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1322021484375 × 2 - 1) × π
    0.735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31094205688367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47016511} λ = -0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31094205688367))-π/2
    2×atan(10.0839198078937)-π/2
    2×1.47195171642584-π/2
    2.94390343285168-1.57079632675     		φ = 1.37310711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37310711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.673242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6966 KachelY 2166 -0.47016511 1.37310711 -26.938476 78.673242
    Oben rechts KachelX + 1 6967 KachelY 2166 -0.46978162 1.37310711 -26.916504 78.673242
    Unten links KachelX 6966 KachelY + 1 2167 -0.47016511 1.37303177 -26.938476 78.668926
    Unten rechts KachelX + 1 6967 KachelY + 1 2167 -0.46978162 1.37303177 -26.916504 78.668926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37310711-1.37303177) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dl = 479.991139999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37310711-1.37303177) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dr = 479.991139999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47016511--0.46978162) × cos(1.37310711) × R
    0.000383489999999986 × 0.196404081003632 × 6371000     		do = 479.857355524414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47016511--0.46978162) × cos(1.37303177) × R
    0.000383489999999986 × 0.196477953052181 × 6371000     		du = 480.037840805997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37310711)-sin(1.37303177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196404081003632-0.196477953052181)×R²
    abs(-0.46978162--0.47016511)×7.38720485494171e-05×R²
    0.000383489999999986×7.38720485494171e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.38720485494171e-05×40589641000000     		ar = 230370.594892429m²