Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6965 / 2263
↖ ↑ ↗
← N 78.246912°
W 26.960449°		 ← 497.68 m → N 78.246912°
W 26.938476°		 →
↑
497.77 m
↓
↑
497.77 m
↓
N 78.242436°
W 26.960449°		 ← 497.87 m →
247 776 m²		 N 78.242436°
W 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425140380859375 y=0.138153076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425140380859375 × 214)
    floor (0.425140380859375 × 16384)
    floor (6965.5)     		tx = 6965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138153076171875 × 214)
    floor (0.138153076171875 × 16384)
    floor (2263.5)     		ty = 2263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6965 / 2263 ti = "14/6965/2263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6965/2263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6965 ÷ 214
    6965 ÷ 16384     		x = 0.42510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2263 ÷ 214
    2263 ÷ 16384     		y = 0.13812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.1497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47054861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13812255859375 × 2 - 1) × π
    0.7237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2737430227785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47054861} λ = -0.47054861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2737430227785))-π/2
    2×atan(9.71569892174541)-π/2
    2×1.46823129081116-π/2
    2.93646258162232-1.57079632675     		φ = 1.36566625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47054861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36566625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.246912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6965 KachelY 2263 -0.47054861 1.36566625 -26.960449 78.246912
    Oben rechts KachelX + 1 6966 KachelY 2263 -0.47016511 1.36566625 -26.938476 78.246912
    Unten links KachelX 6965 KachelY + 1 2264 -0.47054861 1.36558812 -26.960449 78.242436
    Unten rechts KachelX + 1 6966 KachelY + 1 2264 -0.47016511 1.36558812 -26.938476 78.242436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36566625-1.36558812) × R
    7.81300000001206e-05 × 6371000     		dl = 497.766230000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36566625-1.36558812) × R
    7.81300000001206e-05 × 6371000     		dr = 497.766230000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47054861--0.47016511) × cos(1.36566625) × R
    0.000383499999999981 × 0.203694511297118 × 6371000     		do = 497.682420020231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47054861--0.47016511) × cos(1.36558812) × R
    0.000383499999999981 × 0.203771002640575 × 6371000     		du = 497.869309675136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36566625)-sin(1.36558812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203694511297118-0.203771002640575)×R²
    abs(-0.47016511--0.47054861)×7.64913434570802e-05×R²
    0.000383499999999981×7.64913434570802e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.64913434570802e-05×40589641000000     		ar = 247776.015757773m²