Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6965 / 1941
↖ ↑ ↗
← N 79.604251°
W 26.960449°		 ← 440.88 m → N 79.604251°
W 26.938476°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
N 79.600285°
W 26.960449°		 ← 441.05 m →
194 437 m²		 N 79.600285°
W 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425140380859375 y=0.118499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425140380859375 × 214)
    floor (0.425140380859375 × 16384)
    floor (6965.5)     		tx = 6965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118499755859375 × 214)
    floor (0.118499755859375 × 16384)
    floor (1941.5)     		ty = 1941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6965 / 1941 ti = "14/6965/1941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6965/1941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6965 ÷ 214
    6965 ÷ 16384     		x = 0.42510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1941 ÷ 214
    1941 ÷ 16384     		y = 0.11846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.1497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47054861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11846923828125 × 2 - 1) × π
    0.7630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39722847619977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47054861} λ = -0.47054861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39722847619977))-π/2
    2×atan(10.9926676822693)-π/2
    2×1.48007629886955-π/2
    2.96015259773909-1.57079632675     		φ = 1.38935627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47054861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38935627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.604251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6965 KachelY 1941 -0.47054861 1.38935627 -26.960449 79.604251
    Oben rechts KachelX + 1 6966 KachelY 1941 -0.47016511 1.38935627 -26.938476 79.604251
    Unten links KachelX 6965 KachelY + 1 1942 -0.47054861 1.38928706 -26.960449 79.600285
    Unten rechts KachelX + 1 6966 KachelY + 1 1942 -0.47016511 1.38928706 -26.938476 79.600285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38935627-1.38928706) × R
    6.92099999999307e-05 × 6371000     		dl = 440.936909999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38935627-1.38928706) × R
    6.92099999999307e-05 × 6371000     		dr = 440.936909999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47054861--0.47016511) × cos(1.38935627) × R
    0.000383499999999981 × 0.180446178098587 × 6371000     		do = 440.880267355426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47054861--0.47016511) × cos(1.38928706) × R
    0.000383499999999981 × 0.180514251574522 × 6371000     		du = 441.046589815598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38935627)-sin(1.38928706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180446178098587-0.180514251574522)×R²
    abs(-0.47016511--0.47054861)×6.80734759350154e-05×R²
    0.000383499999999981×6.80734759350154e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.80734759350154e-05×40589641000000     		ar = 194437.051700751m²