Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6964 / 1957
↖ ↑ ↗
← N 79.540621°
W 26.982422°		 ← 443.54 m → N 79.540621°
W 26.960449°		 →
↑
443.61 m
↓
↑
443.61 m
↓
N 79.536631°
W 26.982422°		 ← 443.70 m →
196 796 m²		 N 79.536631°
W 26.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425079345703125 y=0.119476318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425079345703125 × 214)
    floor (0.425079345703125 × 16384)
    floor (6964.5)     		tx = 6964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119476318359375 × 214)
    floor (0.119476318359375 × 16384)
    floor (1957.5)     		ty = 1957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6964 / 1957 ti = "14/6964/1957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6964/1957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6964 ÷ 214
    6964 ÷ 16384     		x = 0.425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1957 ÷ 214
    1957 ÷ 16384     		y = 0.11944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11944580078125 × 2 - 1) × π
    0.7611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3910925530484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47093210} λ = -0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3910925530484))-π/2
    2×atan(10.9254240300579)-π/2
    2×1.47952102313018-π/2
    2.95904204626037-1.57079632675     		φ = 1.38824572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38824572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.540621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6964 KachelY 1957 -0.47093210 1.38824572 -26.982422 79.540621
    Oben rechts KachelX + 1 6965 KachelY 1957 -0.47054861 1.38824572 -26.960449 79.540621
    Unten links KachelX 6964 KachelY + 1 1958 -0.47093210 1.38817609 -26.982422 79.536631
    Unten rechts KachelX + 1 6965 KachelY + 1 1958 -0.47054861 1.38817609 -26.960449 79.536631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38824572-1.38817609) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dl = 443.612730000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38824572-1.38817609) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dr = 443.612730000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47093210--0.47054861) × cos(1.38824572) × R
    0.000383490000000042 × 0.181538386766277 × 6371000     		do = 443.537271500155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47093210--0.47054861) × cos(1.38817609) × R
    0.000383490000000042 × 0.181606859344243 × 6371000     		du = 443.704564715354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38824572)-sin(1.38817609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181538386766277-0.181606859344243)×R²
    abs(-0.47054861--0.47093210)×6.84725779668549e-05×R²
    0.000383490000000042×6.84725779668549e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.84725779668549e-05×40589641000000     		ar = 196795.886645768m²