Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6963 / 1618
↖ ↑ ↗
← N 80.809875°
W 27.004395°		 ← 390.22 m → N 80.809875°
W 26.982422°		 →
↑
390.29 m
↓
↑
390.29 m
↓
N 80.806365°
W 27.004395°		 ← 390.37 m →
152 326 m²		 N 80.806365°
W 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425018310546875 y=0.098785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425018310546875 × 214)
    floor (0.425018310546875 × 16384)
    floor (6963.5)     		tx = 6963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098785400390625 × 214)
    floor (0.098785400390625 × 16384)
    floor (1618.5)     		ty = 1618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6963 / 1618 ti = "14/6963/1618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6963/1618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6963 ÷ 214
    6963 ÷ 16384     		x = 0.42498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1618 ÷ 214
    1618 ÷ 16384     		y = 0.0987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.1500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47131560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987548828125 × 2 - 1) × π
    0.802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52109742481799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47131560} λ = -0.47131560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52109742481799))-π/2
    2×atan(12.4422436008832)-π/2
    2×1.49059735674831-π/2
    2.98119471349662-1.57079632675     		φ = 1.41039839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47131560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.004395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41039839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.809875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6963 KachelY 1618 -0.47131560 1.41039839 -27.004395 80.809875
    Oben rechts KachelX + 1 6964 KachelY 1618 -0.47093210 1.41039839 -26.982422 80.809875
    Unten links KachelX 6963 KachelY + 1 1619 -0.47131560 1.41033713 -27.004395 80.806365
    Unten rechts KachelX + 1 6964 KachelY + 1 1619 -0.47093210 1.41033713 -26.982422 80.806365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41039839-1.41033713) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dl = 390.287459998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41039839-1.41033713) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dr = 390.287459998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47131560--0.47093210) × cos(1.41039839) × R
    0.000383499999999981 × 0.159711048050546 × 6371000     		do = 390.218569914346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47131560--0.47093210) × cos(1.41033713) × R
    0.000383499999999981 × 0.159771521405621 × 6371000     		du = 390.366323162625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41039839)-sin(1.41033713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159711048050546-0.159771521405621)×R²
    abs(-0.47093210--0.47131560)×6.04733550756686e-05×R²
    0.000383499999999981×6.04733550756686e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.04733550756686e-05×40589641000000     		ar = 152326.247663352m²