Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6961 / 1639
↖ ↑ ↗
← N 80.735886°
W 27.048340°		 ← 393.33 m → N 80.735886°
W 27.026367°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
N 80.732349°
W 27.048340°		 ← 393.48 m →
154 745 m²		 N 80.732349°
W 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424896240234375 y=0.100067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424896240234375 × 214)
    floor (0.424896240234375 × 16384)
    floor (6961.5)     		tx = 6961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100067138671875 × 214)
    floor (0.100067138671875 × 16384)
    floor (1639.5)     		ty = 1639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6961 / 1639 ti = "14/6961/1639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6961/1639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6961 ÷ 214
    6961 ÷ 16384     		x = 0.42486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1639 ÷ 214
    1639 ÷ 16384     		y = 0.10003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47208259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10003662109375 × 2 - 1) × π
    0.7999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51304402568182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47208259} λ = -0.47208259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51304402568182))-π/2
    2×atan(12.3424436508268)-π/2
    2×1.48995168535448-π/2
    2.97990337070896-1.57079632675     		φ = 1.40910704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47208259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40910704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.735886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6961 KachelY 1639 -0.47208259 1.40910704 -27.048340 80.735886
    Oben rechts KachelX + 1 6962 KachelY 1639 -0.47169909 1.40910704 -27.026367 80.735886
    Unten links KachelX 6961 KachelY + 1 1640 -0.47208259 1.40904530 -27.048340 80.732349
    Unten rechts KachelX + 1 6962 KachelY + 1 1640 -0.47169909 1.40904530 -27.026367 80.732349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40910704-1.40904530) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dl = 393.345540000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40910704-1.40904530) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dr = 393.345540000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47208259--0.47169909) × cos(1.40910704) × R
    0.000383500000000037 × 0.160985688512104 × 6371000     		do = 393.332871549358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47208259--0.47169909) × cos(1.40904530) × R
    0.000383500000000037 × 0.161046622914414 × 6371000     		du = 393.481751264432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40910704)-sin(1.40904530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160985688512104-0.161046622914414)×R²
    abs(-0.47169909--0.47208259)×6.09344023098368e-05×R²
    0.000383500000000037×6.09344023098368e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.09344023098368e-05×40589641000000     		ar = 154745.011394419m²