Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6960 / 2161
↖ ↑ ↗
← N 78.694799°
W 27.070312°		 ← 478.96 m → N 78.694799°
W 27.048340°		 →
↑
479.04 m
↓
↑
479.04 m
↓
N 78.690491°
W 27.070312°		 ← 479.14 m →
229 480 m²		 N 78.690491°
W 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424835205078125 y=0.131927490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424835205078125 × 214)
    floor (0.424835205078125 × 16384)
    floor (6960.5)     		tx = 6960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131927490234375 × 214)
    floor (0.131927490234375 × 16384)
    floor (2161.5)     		ty = 2161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6960 / 2161 ti = "14/6960/2161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6960/2161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6960 ÷ 214
    6960 ÷ 16384     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2161 ÷ 214
    2161 ÷ 16384     		y = 0.13189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13189697265625 × 2 - 1) × π
    0.7362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31285953286847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31285953286847))-π/2
    2×atan(10.1032740316576)-π/2
    2×1.47213983957608-π/2
    2.94427967915215-1.57079632675     		φ = 1.37348335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37348335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.694799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6960 KachelY 2161 -0.47246608 1.37348335 -27.070312 78.694799
    Oben rechts KachelX + 1 6961 KachelY 2161 -0.47208259 1.37348335 -27.048340 78.694799
    Unten links KachelX 6960 KachelY + 1 2162 -0.47246608 1.37340816 -27.070312 78.690491
    Unten rechts KachelX + 1 6961 KachelY + 1 2162 -0.47208259 1.37340816 -27.048340 78.690491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37348335-1.37340816) × R
    7.51900000000028e-05 × 6371000     		dl = 479.035490000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37348335-1.37340816) × R
    7.51900000000028e-05 × 6371000     		dr = 479.035490000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.47208259) × cos(1.37348335) × R
    0.000383489999999986 × 0.196035155121667 × 6371000     		do = 478.955990353183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.47208259) × cos(1.37340816) × R
    0.000383489999999986 × 0.196108885645973 × 6371000     		du = 479.136129860642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37348335)-sin(1.37340816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196035155121667-0.196108885645973)×R²
    abs(-0.47208259--0.47246608)×7.37305243058428e-05×R²
    0.000383489999999986×7.37305243058428e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.37305243058428e-05×40589641000000     		ar = 229480.064244119m²