Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 696 / 375
↖ ↑ ↗
← N 81.214853°
W118.828125°		 ← 1 492.63 m → N 81.214853°
W118.740234°		 →
↑
1 493.74 m
↓
↑
1 493.74 m
↓
N 81.201420°
W118.828125°		 ← 1 494.90 m →
2 231 306 m²		 N 81.201420°
W118.740234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1700439453125 y=0.0916748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1700439453125 × 212)
    floor (0.1700439453125 × 4096)
    floor (696.5)     		tx = 696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0916748046875 × 212)
    floor (0.0916748046875 × 4096)
    floor (375.5)     		ty = 375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 696 / 375 ti = "12/696/375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/696/375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 696 ÷ 212
    696 ÷ 4096     		x = 0.169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 375 ÷ 212
    375 ÷ 4096     		y = 0.091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169921875 × 2 - 1) × π
    -0.66015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.07394203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091552734375 × 2 - 1) × π
    0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07394203} λ = -2.07394203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56634985805933))-π/2
    2×atan(13.0182192628376)-π/2
    2×1.49413145855053-π/2
    2.98826291710106-1.57079632675     		φ = 1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07394203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 696 KachelY 375 -2.07394203 1.41746659 -118.828125 81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 697 KachelY 375 -2.07240804 1.41746659 -118.740234 81.214853
    Unten links KachelX 696 KachelY + 1 376 -2.07394203 1.41723213 -118.828125 81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 697 KachelY + 1 376 -2.07240804 1.41723213 -118.740234 81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41746659-1.41723213) × R
    0.000234460000000158 × 6371000     		dl = 1493.74466000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41746659-1.41723213) × R
    0.000234460000000158 × 6371000     		dr = 1493.74466000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07394203--2.07240804) × cos(1.41746659) × R
    0.00153398999999999 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 1492.63450535827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07394203--2.07240804) × cos(1.41723213) × R
    0.00153398999999999 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 1494.89897112031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41746659)-sin(1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152961350526349)×R²
    abs(-2.07240804--2.07394203)×0.000231705117118286×R²
    0.00153398999999999×0.000231705117118286×6371000²
    0.00153398999999999×0.000231705117118286×40589641000000     		ar = 2231306.09874892m²