Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 696 / 1493
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
W 57.656250°		 ← 8 778.51 m → S 63.312683°
W 57.480469°		 →
↑
8 766.50 m
↓
↑
8 766.50 m
↓
S 63.391522°
W 57.656250°		 ← 8 754.47 m →
76 851 433 m²		 S 63.391522°
W 57.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340087890625 y=0.729248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340087890625 × 211)
    floor (0.340087890625 × 2048)
    floor (696.5)     		tx = 696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729248046875 × 211)
    floor (0.729248046875 × 2048)
    floor (1493.5)     		ty = 1493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 696 / 1493 ti = "11/696/1493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/696/1493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 696 ÷ 211
    696 ÷ 2048     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1493 ÷ 211
    1493 ÷ 2048     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 696 KachelY 1493 -1.00629140 -1.10501477 -57.656250 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 697 KachelY 1493 -1.00322344 -1.10501477 -57.480469 -63.312683
    Unten links KachelX 696 KachelY + 1 1494 -1.00629140 -1.10639077 -57.656250 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 697 KachelY + 1 1494 -1.00322344 -1.10639077 -57.480469 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10639077) × R
    0.00137600000000004 × 6371000     		dl = 8766.49600000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10639077) × R
    0.00137600000000004 × 6371000     		dr = 8766.49600000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--1.00322344) × cos(-1.10501477) × R
    0.00306796000000009 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 8778.51163885293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--1.00322344) × cos(-1.10639077) × R
    0.00306796000000009 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 8754.47320662364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.447891396092727)×R²
    abs(-1.00322344--1.00629140)×0.00122984064454135×R²
    0.00306796000000009×0.00122984064454135×6371000²
    0.00306796000000009×0.00122984064454135×40589641000000     		ar = 76851432.8836863m²