Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69597 / 97253
↖ ↑ ↗
← S 65.335909°
E 11.153870°		 ← 127.45 m → S 65.335909°
E 11.156616°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
S 65.337055°
E 11.153870°		 ← 127.45 m →
16 240 m²		 S 65.337055°
E 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530986785888672 y=0.741985321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530986785888672 × 217)
    floor (0.530986785888672 × 131072)
    floor (69597.5)     		tx = 69597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741985321044922 × 217)
    floor (0.741985321044922 × 131072)
    floor (97253.5)     		ty = 97253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69597 / 97253 ti = "17/69597/97253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69597/97253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69597 ÷ 217
    69597 ÷ 131072     		x = 0.530982971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97253 ÷ 217
    97253 ÷ 131072     		y = 0.741981506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530982971191406 × 2 - 1) × π
    0.0619659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19467175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741981506347656 × 2 - 1) × π
    -0.483963012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52041464524932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19467175} λ = 0.19467175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52041464524932))-π/2
    2×atan(0.218621217906364)-π/2
    2×0.21523479530942-π/2
    0.430469590618839-1.57079632675     		φ = -1.14032674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19467175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.153870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14032674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.335909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69597 KachelY 97253 0.19467175 -1.14032674 11.153870 -65.335909
    Oben rechts KachelX + 1 69598 KachelY 97253 0.19471969 -1.14032674 11.156616 -65.335909
    Unten links KachelX 69597 KachelY + 1 97254 0.19467175 -1.14034674 11.153870 -65.337055
    Unten rechts KachelX + 1 69598 KachelY + 1 97254 0.19471969 -1.14034674 11.156616 -65.337055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14032674--1.14034674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14032674--1.14034674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-1.14032674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417297594764128 × 6371000     		do = 127.453426681044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-1.14034674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417279419282821 × 6371000     		du = 127.447875421216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14032674)-sin(-1.14034674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417297594764128-0.417279419282821)×R²
    abs(0.19471969-0.19467175)×1.81754813072255e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81754813072255e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81754813072255e-05×40589641000000     		ar = 16239.7619574802m²