Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69597 / 72775
↖ ↑ ↗
← S 19.495075°
E 11.153870°		 ← 287.92 m → S 19.495075°
E 11.156616°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
S 19.497664°
E 11.153870°		 ← 287.91 m →
82 892 m²		 S 19.497664°
E 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530986785888672 y=0.555233001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530986785888672 × 217)
    floor (0.530986785888672 × 131072)
    floor (69597.5)     		tx = 69597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555233001708984 × 217)
    floor (0.555233001708984 × 131072)
    floor (72775.5)     		ty = 72775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69597 / 72775 ti = "17/69597/72775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69597/72775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69597 ÷ 217
    69597 ÷ 131072     		x = 0.530982971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72775 ÷ 217
    72775 ÷ 131072     		y = 0.555229187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530982971191406 × 2 - 1) × π
    0.0619659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19467175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555229187011719 × 2 - 1) × π
    -0.110458374023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.347015216349586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19467175} λ = 0.19467175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347015216349586))-π/2
    2×atan(0.706794573342611)-π/2
    2×0.61527153947322-π/2
    1.23054307894644-1.57079632675     		φ = -0.34025325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19467175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.153870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34025325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.495075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69597 KachelY 72775 0.19467175 -0.34025325 11.153870 -19.495075
    Oben rechts KachelX + 1 69598 KachelY 72775 0.19471969 -0.34025325 11.156616 -19.495075
    Unten links KachelX 69597 KachelY + 1 72776 0.19467175 -0.34029844 11.153870 -19.497664
    Unten rechts KachelX + 1 69598 KachelY + 1 72776 0.19471969 -0.34029844 11.156616 -19.497664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34025325--0.34029844) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dl = 287.905489999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34025325--0.34029844) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dr = 287.905489999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-0.34025325) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942670179691114 × 6371000     		do = 287.915737208069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-0.34029844) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942655097658148 × 6371000     		du = 287.91113076699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34025325)-sin(-0.34029844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942670179691114-0.942655097658148)×R²
    abs(0.19471969-0.19467175)×1.5082032966518e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5082032966518e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5082032966518e-05×40589641000000     		ar = 82891.8583039025m²