Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69597 / 72772
↖ ↑ ↗
← S 19.487308°
E 11.153870°		 ← 287.93 m → S 19.487308°
E 11.156616°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
S 19.489897°
E 11.153870°		 ← 287.92 m →
82 896 m²		 S 19.489897°
E 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530986785888672 y=0.555210113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530986785888672 × 217)
    floor (0.530986785888672 × 131072)
    floor (69597.5)     		tx = 69597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555210113525391 × 217)
    floor (0.555210113525391 × 131072)
    floor (72772.5)     		ty = 72772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69597 / 72772 ti = "17/69597/72772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69597/72772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69597 ÷ 217
    69597 ÷ 131072     		x = 0.530982971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72772 ÷ 217
    72772 ÷ 131072     		y = 0.555206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530982971191406 × 2 - 1) × π
    0.0619659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19467175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.346871405650726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19467175} λ = 0.19467175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346871405650726))-π/2
    2×atan(0.706896225273296)-π/2
    2×0.615339324128325-π/2
    1.23067864825665-1.57079632675     		φ = -0.34011768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19467175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.153870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34011768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.487308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69597 KachelY 72772 0.19467175 -0.34011768 11.153870 -19.487308
    Oben rechts KachelX + 1 69598 KachelY 72772 0.19471969 -0.34011768 11.156616 -19.487308
    Unten links KachelX 69597 KachelY + 1 72773 0.19467175 -0.34016287 11.153870 -19.489897
    Unten rechts KachelX + 1 69598 KachelY + 1 72773 0.19471969 -0.34016287 11.156616 -19.489897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34011768--0.34016287) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34011768--0.34016287) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-0.34011768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942715414239526 × 6371000     		do = 287.929553003492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19467175-0.19471969) × cos(-0.34016287) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942700337981834 × 6371000     		du = 287.92494832633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34011768)-sin(-0.34016287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942715414239526-0.942700337981834)×R²
    abs(0.19471969-0.19467175)×1.50762576918151e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50762576918151e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50762576918151e-05×40589641000000     		ar = 82895.8362011943m²