Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6959 / 5343
↖ ↑ ↗
← N 52.922151°
W 27.092285°		 ← 1 473.05 m → N 52.922151°
W 27.070312°		 →
↑
1 473.29 m
↓
↑
1 473.29 m
↓
N 52.908902°
W 27.092285°		 ← 1 473.50 m →
2 170 570 m²		 N 52.908902°
W 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424774169921875 y=0.326141357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424774169921875 × 214)
    floor (0.424774169921875 × 16384)
    floor (6959.5)     		tx = 6959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326141357421875 × 214)
    floor (0.326141357421875 × 16384)
    floor (5343.5)     		ty = 5343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6959 / 5343 ti = "14/6959/5343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6959/5343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6959 ÷ 214
    6959 ÷ 16384     		x = 0.42474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5343 ÷ 214
    5343 ÷ 16384     		y = 0.32611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.1505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47284958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32611083984375 × 2 - 1) × π
    0.3477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09257781614032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47284958} λ = -0.47284958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09257781614032))-π/2
    2×atan(2.98195109499799)-π/2
    2×1.2472310577959-π/2
    2.49446211559179-1.57079632675     		φ = 0.92366579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47284958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.092285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92366579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.922151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6959 KachelY 5343 -0.47284958 0.92366579 -27.092285 52.922151
    Oben rechts KachelX + 1 6960 KachelY 5343 -0.47246608 0.92366579 -27.070312 52.922151
    Unten links KachelX 6959 KachelY + 1 5344 -0.47284958 0.92343454 -27.092285 52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 6960 KachelY + 1 5344 -0.47246608 0.92343454 -27.070312 52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92366579-0.92343454) × R
    0.000231250000000016 × 6371000     		dl = 1473.2937500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92366579-0.92343454) × R
    0.000231250000000016 × 6371000     		dr = 1473.2937500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47284958--0.47246608) × cos(0.92366579) × R
    0.000383499999999981 × 0.602899584206741 × 6371000     		do = 1473.0515917512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47284958--0.47246608) × cos(0.92343454) × R
    0.000383499999999981 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 1473.50232551459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92366579)-sin(0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602899584206741-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.47246608--0.47284958)×0.000184479077349642×R²
    0.000383499999999981×0.000184479077349642×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184479077349642×40589641000000     		ar = 2170569.74484658m²