Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6959 / 1837
↖ ↑ ↗
← N 80.008611°
W 27.092285°		 ← 423.91 m → N 80.008611°
W 27.070312°		 →
↑
423.99 m
↓
↑
423.99 m
↓
N 80.004798°
W 27.092285°		 ← 424.07 m →
179 767 m²		 N 80.004798°
W 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424774169921875 y=0.112152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424774169921875 × 214)
    floor (0.424774169921875 × 16384)
    floor (6959.5)     		tx = 6959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112152099609375 × 214)
    floor (0.112152099609375 × 16384)
    floor (1837.5)     		ty = 1837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6959 / 1837 ti = "14/6959/1837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6959/1837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6959 ÷ 214
    6959 ÷ 16384     		x = 0.42474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1837 ÷ 214
    1837 ÷ 16384     		y = 0.11212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.1505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47284958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11212158203125 × 2 - 1) × π
    0.7757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43711197668365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47284958} λ = -0.47284958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43711197668365))-π/2
    2×atan(11.4399541340661)-π/2
    2×1.48360501511988-π/2
    2.96721003023976-1.57079632675     		φ = 1.39641370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47284958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.092285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39641370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.008611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6959 KachelY 1837 -0.47284958 1.39641370 -27.092285 80.008611
    Oben rechts KachelX + 1 6960 KachelY 1837 -0.47246608 1.39641370 -27.070312 80.008611
    Unten links KachelX 6959 KachelY + 1 1838 -0.47284958 1.39634715 -27.092285 80.004798
    Unten rechts KachelX + 1 6960 KachelY + 1 1838 -0.47246608 1.39634715 -27.070312 80.004798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39641370-1.39634715) × R
    6.65500000001096e-05 × 6371000     		dl = 423.990050000698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39641370-1.39634715) × R
    6.65500000001096e-05 × 6371000     		dr = 423.990050000698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47284958--0.47246608) × cos(1.39641370) × R
    0.000383499999999981 × 0.173500160672112 × 6371000     		do = 423.909212316697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47284958--0.47246608) × cos(1.39634715) × R
    0.000383499999999981 × 0.173565700979971 × 6371000     		du = 424.06934554177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39641370)-sin(1.39634715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173500160672112-0.173565700979971)×R²
    abs(-0.47246608--0.47284958)×6.55403078581585e-05×R²
    0.000383499999999981×6.55403078581585e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.55403078581585e-05×40589641000000     		ar = 179767.235640619m²