Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69567 / 97220
↖ ↑ ↗
← S 65.298059°
E 11.071472°		 ← 127.64 m → S 65.298059°
E 11.074219°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.299207°
E 11.071472°		 ← 127.63 m →
16 288 m²		 S 65.299207°
E 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530757904052734 y=0.741733551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530757904052734 × 217)
    floor (0.530757904052734 × 131072)
    floor (69567.5)     		tx = 69567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741733551025391 × 217)
    floor (0.741733551025391 × 131072)
    floor (97220.5)     		ty = 97220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69567 / 97220 ti = "17/69567/97220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69567/97220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69567 ÷ 217
    69567 ÷ 131072     		x = 0.530754089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97220 ÷ 217
    97220 ÷ 131072     		y = 0.741729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530754089355469 × 2 - 1) × π
    0.0615081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19323364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.48345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51883272756186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19323364} λ = 0.19323364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51883272756186))-π/2
    2×atan(0.21896733236794)-π/2
    2×0.215565097875677-π/2
    0.431130195751354-1.57079632675     		φ = -1.13966613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19323364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.071472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13966613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.298059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69567 KachelY 97220 0.19323364 -1.13966613 11.071472 -65.298059
    Oben rechts KachelX + 1 69568 KachelY 97220 0.19328158 -1.13966613 11.074219 -65.298059
    Unten links KachelX 69567 KachelY + 1 97221 0.19323364 -1.13968616 11.071472 -65.299207
    Unten rechts KachelX + 1 69568 KachelY + 1 97221 0.19328158 -1.13968616 11.074219 -65.299207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13966613--1.13968616) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13966613--1.13968616) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19323364-0.19328158) × cos(-1.13966613) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417897846143613 × 6371000     		do = 127.636758902809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19323364-0.19328158) × cos(-1.13968616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417879648924499 × 6371000     		du = 127.631201003695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13966613)-sin(-1.13968616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417897846143613-0.417879648924499)×R²
    abs(0.19328158-0.19323364)×1.81972191138913e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81972191138913e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81972191138913e-05×40589641000000     		ar = 16287.5164087658m²