Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69552 / 72784
↖ ↑ ↗
← S 19.518376°
E 11.030274°		 ← 287.87 m → S 19.518376°
E 11.033020°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
S 19.520964°
E 11.030274°		 ← 287.87 m →
82 862 m²		 S 19.520964°
E 11.033020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530643463134766 y=0.555301666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530643463134766 × 217)
    floor (0.530643463134766 × 131072)
    floor (69552.5)     		tx = 69552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555301666259766 × 217)
    floor (0.555301666259766 × 131072)
    floor (72784.5)     		ty = 72784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69552 / 72784 ti = "17/69552/72784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69552/72784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69552 ÷ 217
    69552 ÷ 131072     		x = 0.5306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72784 ÷ 217
    72784 ÷ 131072     		y = 0.5552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5306396484375 × 2 - 1) × π
    0.061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19251459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.347446648446167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19251459} λ = 0.19251459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347446648446167))-π/2
    2×atan(0.706489705247651)-π/2
    2×0.615068205031068-π/2
    1.23013641006214-1.57079632675     		φ = -0.34065992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19251459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34065992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.518376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69552 KachelY 72784 0.19251459 -0.34065992 11.030274 -19.518376
    Oben rechts KachelX + 1 69553 KachelY 72784 0.19256253 -0.34065992 11.033020 -19.518376
    Unten links KachelX 69552 KachelY + 1 72785 0.19251459 -0.34070510 11.030274 -19.520964
    Unten rechts KachelX + 1 69553 KachelY + 1 72785 0.19256253 -0.34070510 11.033020 -19.520964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34065992--0.34070510) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34065992--0.34070510) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19251459-0.19256253) × cos(-0.34065992) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94253438546029 × 6371000     		do = 287.874262154632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19251459-0.19256253) × cos(-0.34070510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942519289446384 × 6371000     		du = 287.869651443414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34065992)-sin(-0.34070510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94253438546029-0.942519289446384)×R²
    abs(0.19256253-0.19251459)×1.50960139061462e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50960139061462e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50960139061462e-05×40589641000000     		ar = 82861.5764712085m²