Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69550 / 72785
↖ ↑ ↗
← S 19.520964°
E 11.024781°		 ← 287.81 m → S 19.520964°
E 11.027527°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
S 19.523553°
E 11.024781°		 ← 287.80 m →
82 843 m²		 S 19.523553°
E 11.027527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530628204345703 y=0.555309295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530628204345703 × 217)
    floor (0.530628204345703 × 131072)
    floor (69550.5)     		tx = 69550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555309295654297 × 217)
    floor (0.555309295654297 × 131072)
    floor (72785.5)     		ty = 72785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69550 / 72785 ti = "17/69550/72785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69550/72785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69550 ÷ 217
    69550 ÷ 131072     		x = 0.530624389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72785 ÷ 217
    72785 ÷ 131072     		y = 0.555305480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530624389648438 × 2 - 1) × π
    0.061248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19241872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555305480957031 × 2 - 1) × π
    -0.110610961914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.347494585345787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19241872} λ = 0.19241872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347494585345787))-π/2
    2×atan(0.706455839133293)-π/2
    2×0.615045614123847-π/2
    1.23009122824769-1.57079632675     		φ = -0.34070510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19241872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.024781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34070510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.520964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69550 KachelY 72785 0.19241872 -0.34070510 11.024781 -19.520964
    Oben rechts KachelX + 1 69551 KachelY 72785 0.19246665 -0.34070510 11.027527 -19.520964
    Unten links KachelX 69550 KachelY + 1 72786 0.19241872 -0.34075028 11.024781 -19.523553
    Unten rechts KachelX + 1 69551 KachelY + 1 72786 0.19246665 -0.34075028 11.027527 -19.523553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34070510--0.34075028) × R
    4.51800000000335e-05 × 6371000     		dl = 287.841780000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34070510--0.34075028) × R
    4.51800000000335e-05 × 6371000     		dr = 287.841780000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19241872-0.19246665) × cos(-0.34070510) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942519289446384 × 6371000     		do = 287.809603539515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19241872-0.19246665) × cos(-0.34075028) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942504191508577 × 6371000     		du = 287.804993202577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34070510)-sin(-0.34075028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942519289446384-0.942504191508577)×R²
    abs(0.19246665-0.19241872)×1.50979378070737e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.50979378070737e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.50979378070737e-05×40589641000000     		ar = 82842.9650742696m²