Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69549 / 72787
↖ ↑ ↗
← S 19.526142°
E 11.022034°		 ← 287.86 m → S 19.526142°
E 11.024781°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
S 19.528730°
E 11.022034°		 ← 287.86 m →
82 858 m²		 S 19.528730°
E 11.024781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530620574951172 y=0.555324554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530620574951172 × 217)
    floor (0.530620574951172 × 131072)
    floor (69549.5)     		tx = 69549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555324554443359 × 217)
    floor (0.555324554443359 × 131072)
    floor (72787.5)     		ty = 72787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69549 / 72787 ti = "17/69549/72787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69549/72787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69549 ÷ 217
    69549 ÷ 131072     		x = 0.530616760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72787 ÷ 217
    72787 ÷ 131072     		y = 0.555320739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530616760253906 × 2 - 1) × π
    0.0612335205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19237078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555320739746094 × 2 - 1) × π
    -0.110641479492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.347590459145027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19237078} λ = 0.19237078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347590459145027))-π/2
    2×atan(0.706388111774691)-π/2
    2×0.615000433395035-π/2
    1.23000086679007-1.57079632675     		φ = -0.34079546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19237078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.022034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34079546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.526142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69549 KachelY 72787 0.19237078 -0.34079546 11.022034 -19.526142
    Oben rechts KachelX + 1 69550 KachelY 72787 0.19241872 -0.34079546 11.024781 -19.526142
    Unten links KachelX 69549 KachelY + 1 72788 0.19237078 -0.34084064 11.022034 -19.528730
    Unten rechts KachelX + 1 69550 KachelY + 1 72788 0.19241872 -0.34084064 11.024781 -19.528730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34079546--0.34084064) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34079546--0.34084064) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19237078-0.19241872) × cos(-0.34079546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9424890916469 × 6371000     		do = 287.86042825816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19237078-0.19241872) × cos(-0.34084064) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942473989861383 × 6371000     		du = 287.855815784143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34079546)-sin(-0.34084064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9424890916469-0.942473989861383)×R²
    abs(0.19241872-0.19237078)×1.5101785516336e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5101785516336e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5101785516336e-05×40589641000000     		ar = 82857.5942441497m²