Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69540 / 72804
↖ ↑ ↗
← S 19.570142°
E 10.997315°		 ← 287.72 m → S 19.570142°
E 11.000061°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
S 19.572730°
E 10.997315°		 ← 287.72 m →
82 781 m²		 S 19.572730°
E 11.000061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530551910400391 y=0.555454254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530551910400391 × 217)
    floor (0.530551910400391 × 131072)
    floor (69540.5)     		tx = 69540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555454254150391 × 217)
    floor (0.555454254150391 × 131072)
    floor (72804.5)     		ty = 72804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69540 / 72804 ti = "17/69540/72804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69540/72804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69540 ÷ 217
    69540 ÷ 131072     		x = 0.530548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72804 ÷ 217
    72804 ÷ 131072     		y = 0.555450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530548095703125 × 2 - 1) × π
    0.06109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19193935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.348405386438568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19193935} λ = 0.19193935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348405386438568))-π/2
    2×atan(0.705812691317336)-π/2
    2×0.614616455686526-π/2
    1.22923291137305-1.57079632675     		φ = -0.34156342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19193935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.997315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34156342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.570142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69540 KachelY 72804 0.19193935 -0.34156342 10.997315 -19.570142
    Oben rechts KachelX + 1 69541 KachelY 72804 0.19198728 -0.34156342 11.000061 -19.570142
    Unten links KachelX 69540 KachelY + 1 72805 0.19193935 -0.34160858 10.997315 -19.572730
    Unten rechts KachelX + 1 69541 KachelY + 1 72805 0.19198728 -0.34160858 11.000061 -19.572730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34156342--0.34160858) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34156342--0.34160858) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19193935-0.19198728) × cos(-0.34156342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942232133172211 × 6371000     		do = 287.721916916706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19193935-0.19198728) × cos(-0.34160858) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942217005390467 × 6371000     		du = 287.717297466563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34156342)-sin(-0.34160858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942232133172211-0.942217005390467)×R²
    abs(0.19198728-0.19193935)×1.5127781744062e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.5127781744062e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.5127781744062e-05×40589641000000     		ar = 82781.0626566437m²