Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6954 / 5347
↖ ↑ ↗
← N 52.869130°
W 27.202148°		 ← 1 474.82 m → N 52.869130°
W 27.180176°		 →
↑
1 475.08 m
↓
↑
1 475.08 m
↓
N 52.855864°
W 27.202148°		 ← 1 475.27 m →
2 175 801 m²		 N 52.855864°
W 27.180176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424468994140625 y=0.326385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424468994140625 × 214)
    floor (0.424468994140625 × 16384)
    floor (6954.5)     		tx = 6954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326385498046875 × 214)
    floor (0.326385498046875 × 16384)
    floor (5347.5)     		ty = 5347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6954 / 5347 ti = "14/6954/5347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6954/5347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6954 ÷ 214
    6954 ÷ 16384     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5347 ÷ 214
    5347 ÷ 16384     		y = 0.32635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32635498046875 × 2 - 1) × π
    0.3472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09104383535248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09104383535248))-π/2
    2×atan(2.97738034592489)-π/2
    2×1.2467683565941-π/2
    2.49353671318819-1.57079632675     		φ = 0.92274039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92274039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.869130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6954 KachelY 5347 -0.47476705 0.92274039 -27.202148 52.869130
    Oben rechts KachelX + 1 6955 KachelY 5347 -0.47438356 0.92274039 -27.180176 52.869130
    Unten links KachelX 6954 KachelY + 1 5348 -0.47476705 0.92250886 -27.202148 52.855864
    Unten rechts KachelX + 1 6955 KachelY + 1 5348 -0.47438356 0.92250886 -27.180176 52.855864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92274039-0.92250886) × R
    0.00023152999999998 × 6371000     		dl = 1475.07762999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92274039-0.92250886) × R
    0.00023152999999998 × 6371000     		dr = 1475.07762999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47438356) × cos(0.92274039) × R
    0.000383490000000042 × 0.603637625875086 × 6371000     		do = 1474.81637533866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47438356) × cos(0.92250886) × R
    0.000383490000000042 × 0.603822199027319 × 6371000     		du = 1475.26732719403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92274039)-sin(0.92250886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603637625875086-0.603822199027319)×R²
    abs(-0.47438356--0.47476705)×0.00018457315223297×R²
    0.000383490000000042×0.00018457315223297×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018457315223297×40589641000000     		ar = 2175801.24783638m²