Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69528 / 97224
↖ ↑ ↗
← S 65.302650°
E 10.964355°		 ← 127.61 m → S 65.302650°
E 10.967102°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.303797°
E 10.964355°		 ← 127.61 m →
16 285 m²		 S 65.303797°
E 10.967102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530460357666016 y=0.741764068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530460357666016 × 217)
    floor (0.530460357666016 × 131072)
    floor (69528.5)     		tx = 69528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741764068603516 × 217)
    floor (0.741764068603516 × 131072)
    floor (97224.5)     		ty = 97224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69528 / 97224 ti = "17/69528/97224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69528/97224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69528 ÷ 217
    69528 ÷ 131072     		x = 0.53045654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97224 ÷ 217
    97224 ÷ 131072     		y = 0.74176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53045654296875 × 2 - 1) × π
    0.0609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19136410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.4835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51902447516034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19136410} λ = 0.19136410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51902447516034))-π/2
    2×atan(0.218925349932957)-π/2
    2×0.215525035911136-π/2
    0.431050071822272-1.57079632675     		φ = -1.13974625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19136410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13974625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.302650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69528 KachelY 97224 0.19136410 -1.13974625 10.964355 -65.302650
    Oben rechts KachelX + 1 69529 KachelY 97224 0.19141204 -1.13974625 10.967102 -65.302650
    Unten links KachelX 69528 KachelY + 1 97225 0.19136410 -1.13976628 10.964355 -65.303797
    Unten rechts KachelX + 1 69529 KachelY + 1 97225 0.19141204 -1.13976628 10.967102 -65.303797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13974625--1.13976628) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13974625--1.13976628) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19136410-0.19141204) × cos(-1.13974625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417825056261264 × 6371000     		do = 127.614526999128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19136410-0.19141204) × cos(-1.13976628) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417806858371579 × 6371000     		du = 127.608968895205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13974625)-sin(-1.13976628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417825056261264-0.417806858371579)×R²
    abs(0.19141204-0.19136410)×1.81978896848789e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81978896848789e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81978896848789e-05×40589641000000     		ar = 16284.6793573385m²