Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69527 / 97225
↖ ↑ ↗
← S 65.303797°
E 10.961609°		 ← 127.58 m → S 65.303797°
E 10.964355°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.304945°
E 10.961609°		 ← 127.58 m →
16 281 m²		 S 65.304945°
E 10.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530452728271484 y=0.741771697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530452728271484 × 217)
    floor (0.530452728271484 × 131072)
    floor (69527.5)     		tx = 69527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741771697998047 × 217)
    floor (0.741771697998047 × 131072)
    floor (97225.5)     		ty = 97225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69527 / 97225 ti = "17/69527/97225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69527/97225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69527 ÷ 217
    69527 ÷ 131072     		x = 0.530448913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97225 ÷ 217
    97225 ÷ 131072     		y = 0.741767883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530448913574219 × 2 - 1) × π
    0.0608978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19131617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741767883300781 × 2 - 1) × π
    -0.483535766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51907241205996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19131617} λ = 0.19131617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51907241205996))-π/2
    2×atan(0.218914855581969)-π/2
    2×0.21551502151043-π/2
    0.43103004302086-1.57079632675     		φ = -1.13976628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19131617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.961609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13976628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.303797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69527 KachelY 97225 0.19131617 -1.13976628 10.961609 -65.303797
    Oben rechts KachelX + 1 69528 KachelY 97225 0.19136410 -1.13976628 10.964355 -65.303797
    Unten links KachelX 69527 KachelY + 1 97226 0.19131617 -1.13978631 10.961609 -65.304945
    Unten rechts KachelX + 1 69528 KachelY + 1 97226 0.19136410 -1.13978631 10.964355 -65.304945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13976628--1.13978631) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dl = 127.611130001088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13976628--1.13978631) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dr = 127.611130001088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19131617-0.19136410) × cos(-1.13976628) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417806858371579 × 6371000     		do = 127.582350420272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19131617-0.19136410) × cos(-1.13978631) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41778866031427 × 6371000     		du = 127.57679342455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13976628)-sin(-1.13978631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417806858371579-0.41778866031427)×R²
    abs(0.19136410-0.19131617)×1.81980573095708e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81980573095708e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81980573095708e-05×40589641000000     		ar = 16280.5733386439m²