Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6951 / 5485
↖ ↑ ↗
← N 75.896124°
W103.634033°		 ← 297.69 m → N 75.896124°
W103.623047°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 75.893447°
W103.634033°		 ← 297.75 m →
88 636 m²		 N 75.893447°
W103.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212142944335938 y=0.167404174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212142944335938 × 215)
    floor (0.212142944335938 × 32768)
    floor (6951.5)     		tx = 6951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167404174804688 × 215)
    floor (0.167404174804688 × 32768)
    floor (5485.5)     		ty = 5485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6951 / 5485 ti = "15/6951/5485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6951/5485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6951 ÷ 215
    6951 ÷ 32768     		x = 0.212127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5485 ÷ 215
    5485 ÷ 32768     		y = 0.167388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.57574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80875510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167388916015625 × 2 - 1) × π
    0.66522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08985707583597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80875510} λ = -1.80875510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08985707583597))-π/2
    2×atan(8.08375971713656)-π/2
    2×1.44771679398966-π/2
    2.89543358797931-1.57079632675     		φ = 1.32463726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80875510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32463726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.896124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6951 KachelY 5485 -1.80875510 1.32463726 -103.634033 75.896124
    Oben rechts KachelX + 1 6952 KachelY 5485 -1.80856335 1.32463726 -103.623047 75.896124
    Unten links KachelX 6951 KachelY + 1 5486 -1.80875510 1.32459053 -103.634033 75.893447
    Unten rechts KachelX + 1 6952 KachelY + 1 5486 -1.80856335 1.32459053 -103.623047 75.893447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32463726-1.32459053) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32463726-1.32459053) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80875510--1.80856335) × cos(1.32463726) × R
    0.000191749999999935 × 0.243680615567255 × 6371000     		do = 297.689804441018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80875510--1.80856335) × cos(1.32459053) × R
    0.000191749999999935 × 0.243725936650299 × 6371000     		du = 297.745170454917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32463726)-sin(1.32459053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243680615567255-0.243725936650299)×R²
    abs(-1.80856335--1.80875510)×4.53210830439477e-05×R²
    0.000191749999999935×4.53210830439477e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.53210830439477e-05×40589641000000     		ar = 88635.5066147015m²