Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6950 / 5487
↖ ↑ ↗
← N 75.890769°
W103.645019°		 ← 297.79 m → N 75.890769°
W103.634033°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 75.888091°
W103.645019°		 ← 297.84 m →
88 683 m²		 N 75.888091°
W103.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212112426757812 y=0.167465209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212112426757812 × 215)
    floor (0.212112426757812 × 32768)
    floor (6950.5)     		tx = 6950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167465209960938 × 215)
    floor (0.167465209960938 × 32768)
    floor (5487.5)     		ty = 5487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6950 / 5487 ti = "15/6950/5487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6950/5487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6950 ÷ 215
    6950 ÷ 32768     		x = 0.21209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5487 ÷ 215
    5487 ÷ 32768     		y = 0.167449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80894684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167449951171875 × 2 - 1) × π
    0.66510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08947358063901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80894684} λ = -1.80894684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08947358063901))-π/2
    2×atan(8.08066022846915)-π/2
    2×1.44767006012667-π/2
    2.89534012025335-1.57079632675     		φ = 1.32454379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80894684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.645019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32454379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.890769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6950 KachelY 5487 -1.80894684 1.32454379 -103.645019 75.890769
    Oben rechts KachelX + 1 6951 KachelY 5487 -1.80875510 1.32454379 -103.634033 75.890769
    Unten links KachelX 6950 KachelY + 1 5488 -1.80894684 1.32449705 -103.645019 75.888091
    Unten rechts KachelX + 1 6951 KachelY + 1 5488 -1.80875510 1.32449705 -103.634033 75.888091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32454379-1.32449705) × R
    4.67400000001561e-05 × 6371000     		dl = 297.780540000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32454379-1.32449705) × R
    4.67400000001561e-05 × 6371000     		dr = 297.780540000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80894684--1.80875510) × cos(1.32454379) × R
    0.000191739999999996 × 0.243771266899447 × 6371000     		do = 297.78501699917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80894684--1.80875510) × cos(1.32449705) × R
    0.000191739999999996 × 0.243816596616047 × 6371000     		du = 297.840390672203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32454379)-sin(1.32449705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243771266899447-0.243816596616047)×R²
    abs(-1.80875510--1.80894684)×4.53297165996236e-05×R²
    0.000191739999999996×4.53297165996236e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.53297165996236e-05×40589641000000     		ar = 88682.8277832021m²