Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6950 / 4843
↖ ↑ ↗
← N 77.515999°
W103.645019°		 ← 264.06 m → N 77.515999°
W103.634033°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 77.513624°
W103.645019°		 ← 264.11 m →
69 757 m²		 N 77.513624°
W103.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212112426757812 y=0.147811889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212112426757812 × 215)
    floor (0.212112426757812 × 32768)
    floor (6950.5)     		tx = 6950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147811889648438 × 215)
    floor (0.147811889648438 × 32768)
    floor (4843.5)     		ty = 4843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6950 / 4843 ti = "15/6950/4843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6950/4843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6950 ÷ 215
    6950 ÷ 32768     		x = 0.21209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4843 ÷ 215
    4843 ÷ 32768     		y = 0.147796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80894684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147796630859375 × 2 - 1) × π
    0.70440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21295903406027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80894684} λ = -1.80894684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21295903406027))-π/2
    2×atan(9.14273005579448)-π/2
    2×1.46185286742829-π/2
    2.92370573485657-1.57079632675     		φ = 1.35290941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80894684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.645019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35290941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.515999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6950 KachelY 4843 -1.80894684 1.35290941 -103.645019 77.515999
    Oben rechts KachelX + 1 6951 KachelY 4843 -1.80875510 1.35290941 -103.634033 77.515999
    Unten links KachelX 6950 KachelY + 1 4844 -1.80894684 1.35286795 -103.645019 77.513624
    Unten rechts KachelX + 1 6951 KachelY + 1 4844 -1.80875510 1.35286795 -103.634033 77.513624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35290941-1.35286795) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35290941-1.35286795) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80894684--1.80875510) × cos(1.35290941) × R
    0.000191739999999996 × 0.216166984894797 × 6371000     		do = 264.064301303027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80894684--1.80875510) × cos(1.35286795) × R
    0.000191739999999996 × 0.216207464445656 × 6371000     		du = 264.113750132227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35290941)-sin(1.35286795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216166984894797-0.216207464445656)×R²
    abs(-1.80875510--1.80894684)×4.04795508590072e-05×R²
    0.000191739999999996×4.04795508590072e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.04795508590072e-05×40589641000000     		ar = 69756.913651714m²