Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69487 / 72431
↖ ↑ ↗
← S 18.601998°
E 10.851746°		 ← 289.47 m → S 18.601998°
E 10.854492°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
S 18.604601°
E 10.851746°		 ← 289.47 m →
83 782 m²		 S 18.604601°
E 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530147552490234 y=0.552608489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530147552490234 × 217)
    floor (0.530147552490234 × 131072)
    floor (69487.5)     		tx = 69487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552608489990234 × 217)
    floor (0.552608489990234 × 131072)
    floor (72431.5)     		ty = 72431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69487 / 72431 ti = "17/69487/72431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69487/72431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69487 ÷ 217
    69487 ÷ 131072     		x = 0.530143737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72431 ÷ 217
    72431 ÷ 131072     		y = 0.552604675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530143737792969 × 2 - 1) × π
    0.0602874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18939869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552604675292969 × 2 - 1) × π
    -0.105209350585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.330524922880287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18939869} λ = 0.18939869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.330524922880287))-π/2
    2×atan(0.718546452945309)-π/2
    2×0.623065104376328-π/2
    1.24613020875266-1.57079632675     		φ = -0.32466612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18939869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.851746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32466612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.601998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69487 KachelY 72431 0.18939869 -0.32466612 10.851746 -18.601998
    Oben rechts KachelX + 1 69488 KachelY 72431 0.18944663 -0.32466612 10.854492 -18.601998
    Unten links KachelX 69487 KachelY + 1 72432 0.18939869 -0.32471155 10.851746 -18.604601
    Unten rechts KachelX + 1 69488 KachelY + 1 72432 0.18944663 -0.32471155 10.854492 -18.604601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32466612--0.32471155) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32466612--0.32471155) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18939869-0.18944663) × cos(-0.32466612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94775728441017 × 6371000     		do = 289.469469931344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18939869-0.18944663) × cos(-0.32471155) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947742791608937 × 6371000     		du = 289.465043456803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32466612)-sin(-0.32471155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94775728441017-0.947742791608937)×R²
    abs(0.18944663-0.18939869)×1.44928012333345e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44928012333345e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44928012333345e-05×40589641000000     		ar = 83781.8194060448m²