Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69481 / 72408
↖ ↑ ↗
← S 18.542117°
E 10.835266°		 ← 289.57 m → S 18.542117°
E 10.838013°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
S 18.544720°
E 10.835266°		 ← 289.57 m →
83 830 m²		 S 18.544720°
E 10.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530101776123047 y=0.552433013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530101776123047 × 217)
    floor (0.530101776123047 × 131072)
    floor (69481.5)     		tx = 69481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552433013916016 × 217)
    floor (0.552433013916016 × 131072)
    floor (72408.5)     		ty = 72408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69481 / 72408 ti = "17/69481/72408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69481/72408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69481 ÷ 217
    69481 ÷ 131072     		x = 0.530097961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72408 ÷ 217
    72408 ÷ 131072     		y = 0.55242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530097961425781 × 2 - 1) × π
    0.0601959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18911107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.329422374189026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18911107} λ = 0.18911107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329422374189026))-π/2
    2×atan(0.719339122294593)-π/2
    2×0.623587670447406-π/2
    1.24717534089481-1.57079632675     		φ = -0.32362099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18911107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.835266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32362099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.542117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69481 KachelY 72408 0.18911107 -0.32362099 10.835266 -18.542117
    Oben rechts KachelX + 1 69482 KachelY 72408 0.18915901 -0.32362099 10.838013 -18.542117
    Unten links KachelX 69481 KachelY + 1 72409 0.18911107 -0.32366643 10.835266 -18.544720
    Unten rechts KachelX + 1 69482 KachelY + 1 72409 0.18915901 -0.32366643 10.838013 -18.544720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32362099--0.32366643) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32362099--0.32366643) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18911107-0.18915901) × cos(-0.32362099) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948090155225377 × 6371000     		do = 289.571137246403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18911107-0.18915901) × cos(-0.32366643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948075704251018 × 6371000     		du = 289.566723546866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32362099)-sin(-0.32366643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948090155225377-0.948075704251018)×R²
    abs(0.18915901-0.18911107)×1.44509743593702e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44509743593702e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44509743593702e-05×40589641000000     		ar = 83829.6957229243m²