Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69479 / 72414
↖ ↑ ↗
← S 18.557740°
E 10.829773°		 ← 289.48 m → S 18.557740°
E 10.832519°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
S 18.560344°
E 10.829773°		 ← 289.48 m →
83 823 m²		 S 18.560344°
E 10.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530086517333984 y=0.552478790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530086517333984 × 217)
    floor (0.530086517333984 × 131072)
    floor (69479.5)     		tx = 69479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552478790283203 × 217)
    floor (0.552478790283203 × 131072)
    floor (72414.5)     		ty = 72414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69479 / 72414 ti = "17/69479/72414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69479/72414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69479 ÷ 217
    69479 ÷ 131072     		x = 0.530082702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72414 ÷ 217
    72414 ÷ 131072     		y = 0.552474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530082702636719 × 2 - 1) × π
    0.0601654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18901520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.104949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.329709995586746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18901520} λ = 0.18901520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329709995586746))-π/2
    2×atan(0.719132254722)-π/2
    2×0.623451331176271-π/2
    1.24690266235254-1.57079632675     		φ = -0.32389366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18901520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.829773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32389366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.557740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69479 KachelY 72414 0.18901520 -0.32389366 10.829773 -18.557740
    Oben rechts KachelX + 1 69480 KachelY 72414 0.18906313 -0.32389366 10.832519 -18.557740
    Unten links KachelX 69479 KachelY + 1 72415 0.18901520 -0.32393911 10.829773 -18.560344
    Unten rechts KachelX + 1 69480 KachelY + 1 72415 0.18906313 -0.32393911 10.832519 -18.560344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32389366--0.32393911) × R
    4.54499999999469e-05 × 6371000     		dl = 289.561949999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32389366--0.32393911) × R
    4.54499999999469e-05 × 6371000     		dr = 289.561949999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18901520-0.18906313) × cos(-0.32389366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948003410468303 × 6371000     		do = 289.484245867534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18901520-0.18906313) × cos(-0.32393911) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.947988944564583 × 6371000     		du = 289.479828529808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32389366)-sin(-0.32393911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948003410468303-0.947988944564583)×R²
    abs(0.18906313-0.18901520)×1.44659037203398e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44659037203398e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44659037203398e-05×40589641000000     		ar = 83822.9831955432m²