Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69478 / 72410
↖ ↑ ↗
← S 18.547325°
E 10.827026°		 ← 289.56 m → S 18.547325°
E 10.829773°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
S 18.549929°
E 10.827026°		 ← 289.56 m →
83 846 m²		 S 18.549929°
E 10.829773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530078887939453 y=0.552448272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530078887939453 × 217)
    floor (0.530078887939453 × 131072)
    floor (69478.5)     		tx = 69478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552448272705078 × 217)
    floor (0.552448272705078 × 131072)
    floor (72410.5)     		ty = 72410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69478 / 72410 ti = "17/69478/72410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69478/72410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69478 ÷ 217
    69478 ÷ 131072     		x = 0.530075073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72410 ÷ 217
    72410 ÷ 131072     		y = 0.552444458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530075073242188 × 2 - 1) × π
    0.060150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18896726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552444458007812 × 2 - 1) × π
    -0.104888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.329518247988266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18896726} λ = 0.18896726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329518247988266))-π/2
    2×atan(0.719270159825896)-π/2
    2×0.623542222637615-π/2
    1.24708444527523-1.57079632675     		φ = -0.32371188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18896726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.827026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32371188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.547325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69478 KachelY 72410 0.18896726 -0.32371188 10.827026 -18.547325
    Oben rechts KachelX + 1 69479 KachelY 72410 0.18901520 -0.32371188 10.829773 -18.547325
    Unten links KachelX 69478 KachelY + 1 72411 0.18896726 -0.32375733 10.827026 -18.549929
    Unten rechts KachelX + 1 69479 KachelY + 1 72411 0.18901520 -0.32375733 10.829773 -18.549929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32371188--0.32375733) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32371188--0.32375733) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18896726-0.18901520) × cos(-0.32371188) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948061248138199 × 6371000     		do = 289.562308277911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18896726-0.18901520) × cos(-0.32375733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948046790066969 × 6371000     		du = 289.557892410806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32371188)-sin(-0.32375733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948061248138199-0.948046790066969)×R²
    abs(0.18901520-0.18896726)×1.4458071230794e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4458071230794e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4458071230794e-05×40589641000000     		ar = 83845.5873123573m²