Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69476 / 72416
↖ ↑ ↗
← S 18.562947°
E 10.821533°		 ← 289.54 m → S 18.562947°
E 10.824280°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
S 18.565551°
E 10.821533°		 ← 289.53 m →
83 819 m²		 S 18.565551°
E 10.824280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530063629150391 y=0.552494049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530063629150391 × 217)
    floor (0.530063629150391 × 131072)
    floor (69476.5)     		tx = 69476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552494049072266 × 217)
    floor (0.552494049072266 × 131072)
    floor (72416.5)     		ty = 72416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69476 / 72416 ti = "17/69476/72416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69476/72416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69476 ÷ 217
    69476 ÷ 131072     		x = 0.530059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72416 ÷ 217
    72416 ÷ 131072     		y = 0.552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530059814453125 × 2 - 1) × π
    0.06011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18887138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18887138} λ = 0.18887138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329805869385986))-π/2
    2×atan(0.719063312085533)-π/2
    2×0.623405887525385-π/2
    1.24681177505077-1.57079632675     		φ = -0.32398455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18887138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32398455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.562947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69476 KachelY 72416 0.18887138 -0.32398455 10.821533 -18.562947
    Oben rechts KachelX + 1 69477 KachelY 72416 0.18891932 -0.32398455 10.824280 -18.562947
    Unten links KachelX 69476 KachelY + 1 72417 0.18887138 -0.32402999 10.821533 -18.565551
    Unten rechts KachelX + 1 69477 KachelY + 1 72417 0.18891932 -0.32402999 10.824280 -18.565551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32398455--0.32402999) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32398455--0.32402999) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18887138-0.18891932) × cos(-0.32398455) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947974479886063 × 6371000     		do = 289.535807020294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18887138-0.18891932) × cos(-0.32402999) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947960013250171 × 6371000     		du = 289.531388537321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32398455)-sin(-0.32402999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947974479886063-0.947960013250171)×R²
    abs(0.18891932-0.18887138)×1.44666358917744e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44666358917744e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44666358917744e-05×40589641000000     		ar = 83819.4669922811m²