Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6943 / 5533
↖ ↑ ↗
← N 50.331436°
W 27.443848°		 ← 1 559.62 m → N 50.331436°
W 27.421875°		 →
↑
1 559.88 m
↓
↑
1 559.88 m
↓
N 50.317408°
W 27.443848°		 ← 1 560.08 m →
2 433 165 m²		 N 50.317408°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423797607421875 y=0.337738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423797607421875 × 214)
    floor (0.423797607421875 × 16384)
    floor (6943.5)     		tx = 6943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337738037109375 × 214)
    floor (0.337738037109375 × 16384)
    floor (5533.5)     		ty = 5533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6943 / 5533 ti = "14/6943/5533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6943/5533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6943 ÷ 214
    6943 ÷ 16384     		x = 0.42376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5533 ÷ 214
    5533 ÷ 16384     		y = 0.33770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.1524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47898550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33770751953125 × 2 - 1) × π
    0.3245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01971372871783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47898550} λ = -0.47898550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01971372871783))-π/2
    2×atan(2.77240099156607)-π/2
    2×1.22462280400366-π/2
    2.44924560800732-1.57079632675     		φ = 0.87844928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47898550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.443848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87844928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.331436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6943 KachelY 5533 -0.47898550 0.87844928 -27.443848 50.331436
    Oben rechts KachelX + 1 6944 KachelY 5533 -0.47860201 0.87844928 -27.421875 50.331436
    Unten links KachelX 6943 KachelY + 1 5534 -0.47898550 0.87820444 -27.443848 50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 6944 KachelY + 1 5534 -0.47860201 0.87820444 -27.421875 50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87844928-0.87820444) × R
    0.000244840000000024 × 6371000     		dl = 1559.87564000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87844928-0.87820444) × R
    0.000244840000000024 × 6371000     		dr = 1559.87564000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47898550--0.47860201) × cos(0.87844928) × R
    0.000383489999999986 × 0.638345577824959 × 6371000     		do = 1559.61535687298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47898550--0.47860201) × cos(0.87820444) × R
    0.000383489999999986 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 1560.07577198434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87844928)-sin(0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638345577824959-0.638534024257602)×R²
    abs(-0.47860201--0.47898550)×0.000188446432642708×R²
    0.000383489999999986×0.000188446432642708×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188446432642708×40589641000000     		ar = 2433165.11026955m²