Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6942 / 5529
↖ ↑ ↗
← N 50.387508°
W 27.465821°		 ← 1 557.81 m → N 50.387508°
W 27.443848°		 →
↑
1 558.03 m
↓
↑
1 558.03 m
↓
N 50.373496°
W 27.465821°		 ← 1 558.28 m →
2 427 478 m²		 N 50.373496°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423736572265625 y=0.337493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423736572265625 × 214)
    floor (0.423736572265625 × 16384)
    floor (6942.5)     		tx = 6942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337493896484375 × 214)
    floor (0.337493896484375 × 16384)
    floor (5529.5)     		ty = 5529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6942 / 5529 ti = "14/6942/5529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6942/5529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6942 ÷ 214
    6942 ÷ 16384     		x = 0.4237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5529 ÷ 214
    5529 ÷ 16384     		y = 0.33746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33746337890625 × 2 - 1) × π
    0.3250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02124770950568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47936900} λ = -0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02124770950568))-π/2
    2×atan(2.77665706495615)-π/2
    2×1.22511211990651-π/2
    2.45022423981302-1.57079632675     		φ = 0.87942791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87942791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.387508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6942 KachelY 5529 -0.47936900 0.87942791 -27.465821 50.387508
    Oben rechts KachelX + 1 6943 KachelY 5529 -0.47898550 0.87942791 -27.443848 50.387508
    Unten links KachelX 6942 KachelY + 1 5530 -0.47936900 0.87918336 -27.465821 50.373496
    Unten rechts KachelX + 1 6943 KachelY + 1 5530 -0.47898550 0.87918336 -27.443848 50.373496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87942791-0.87918336) × R
    0.00024455000000001 × 6371000     		dl = 1558.02805000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87942791-0.87918336) × R
    0.00024455000000001 × 6371000     		dr = 1558.02805000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47936900--0.47898550) × cos(0.87942791) × R
    0.000383499999999981 × 0.637591971914127 × 6371000     		do = 1557.81475675031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47936900--0.47898550) × cos(0.87918336) × R
    0.000383499999999981 × 0.637780347868364 × 6371000     		du = 1558.27501166922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87942791)-sin(0.87918336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637591971914127-0.637780347868364)×R²
    abs(-0.47898550--0.47936900)×0.000188375954236486×R²
    0.000383499999999981×0.000188375954236486×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188375954236486×40589641000000     		ar = 2427477.64485469m²