Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6940 / 1839
↖ ↑ ↗
← N 80.000984°
W 27.509766°		 ← 424.23 m → N 80.000984°
W 27.487793°		 →
↑
424.31 m
↓
↑
424.31 m
↓
N 79.997168°
W 27.509766°		 ← 424.39 m →
180 038 m²		 N 79.997168°
W 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423614501953125 y=0.112274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423614501953125 × 214)
    floor (0.423614501953125 × 16384)
    floor (6940.5)     		tx = 6940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112274169921875 × 214)
    floor (0.112274169921875 × 16384)
    floor (1839.5)     		ty = 1839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6940 / 1839 ti = "14/6940/1839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6940/1839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6940 ÷ 214
    6940 ÷ 16384     		x = 0.423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1839 ÷ 214
    1839 ÷ 16384     		y = 0.11224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11224365234375 × 2 - 1) × π
    0.7755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43634498628973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48013599} λ = -0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43634498628973))-π/2
    2×atan(11.4311831631935)-π/2
    2×1.48353845350733-π/2
    2.96707690701465-1.57079632675     		φ = 1.39628058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39628058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.000984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6940 KachelY 1839 -0.48013599 1.39628058 -27.509766 80.000984
    Oben rechts KachelX + 1 6941 KachelY 1839 -0.47975249 1.39628058 -27.487793 80.000984
    Unten links KachelX 6940 KachelY + 1 1840 -0.48013599 1.39621398 -27.509766 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 6941 KachelY + 1 1840 -0.47975249 1.39621398 -27.487793 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39628058-1.39621398) × R
    6.66000000000277e-05 × 6371000     		dl = 424.308600000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39628058-1.39621398) × R
    6.66000000000277e-05 × 6371000     		dr = 424.308600000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48013599--0.47975249) × cos(1.39628058) × R
    0.000383500000000037 × 0.173631260215338 × 6371000     		do = 424.229525012081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48013599--0.47975249) × cos(1.39621398) × R
    0.000383500000000037 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 424.389774786489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39628058)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173631260215338-0.173696848225222)×R²
    abs(-0.47975249--0.48013599)×6.55880098842376e-05×R²
    0.000383500000000037×6.55880098842376e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.55880098842376e-05×40589641000000     		ar = 180038.233582257m²