Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69398 / 71916
↖ ↑ ↗
← S 17.256236°
E 10.607300°		 ← 291.62 m → S 17.256236°
E 10.610046°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
S 17.258859°
E 10.607300°		 ← 291.61 m →
85 054 m²		 S 17.258859°
E 10.610046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529468536376953 y=0.548679351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529468536376953 × 217)
    floor (0.529468536376953 × 131072)
    floor (69398.5)     		tx = 69398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548679351806641 × 217)
    floor (0.548679351806641 × 131072)
    floor (71916.5)     		ty = 71916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69398 / 71916 ti = "17/69398/71916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69398/71916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69398 ÷ 217
    69398 ÷ 131072     		x = 0.529464721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71916 ÷ 217
    71916 ÷ 131072     		y = 0.548675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529464721679688 × 2 - 1) × π
    0.058929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18513231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.305837419575958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18513231} λ = 0.18513231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305837419575958))-π/2
    2×atan(0.736506351237708)-π/2
    2×0.634809093309502-π/2
    1.269618186619-1.57079632675     		φ = -0.30117814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18513231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30117814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.256236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69398 KachelY 71916 0.18513231 -0.30117814 10.607300 -17.256236
    Oben rechts KachelX + 1 69399 KachelY 71916 0.18518024 -0.30117814 10.610046 -17.256236
    Unten links KachelX 69398 KachelY + 1 71917 0.18513231 -0.30122392 10.607300 -17.258859
    Unten rechts KachelX + 1 69399 KachelY + 1 71917 0.18518024 -0.30122392 10.610046 -17.258859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30117814--0.30122392) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30117814--0.30122392) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18513231-0.18518024) × cos(-0.30117814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954987662019806 × 6371000     		do = 291.616971099331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18513231-0.18518024) × cos(-0.30122392) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954974080587103 × 6371000     		du = 291.612823845471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30117814)-sin(-0.30122392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954987662019806-0.954974080587103)×R²
    abs(0.18518024-0.18513231)×1.35814327023587e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.35814327023587e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.35814327023587e-05×40589641000000     		ar = 85053.6782848839m²