Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69397 / 71918
↖ ↑ ↗
← S 17.261482°
E 10.604553°		 ← 291.67 m → S 17.261482°
E 10.607300°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 17.264105°
E 10.604553°		 ← 291.67 m →
85 050 m²		 S 17.264105°
E 10.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529460906982422 y=0.548694610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529460906982422 × 217)
    floor (0.529460906982422 × 131072)
    floor (69397.5)     		tx = 69397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548694610595703 × 217)
    floor (0.548694610595703 × 131072)
    floor (71918.5)     		ty = 71918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69397 / 71918 ti = "17/69397/71918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69397/71918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69397 ÷ 217
    69397 ÷ 131072     		x = 0.529457092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71918 ÷ 217
    71918 ÷ 131072     		y = 0.548690795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529457092285156 × 2 - 1) × π
    0.0589141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18508437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548690795898438 × 2 - 1) × π
    -0.097381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.305933293375198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18508437} λ = 0.18508437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305933293375198))-π/2
    2×atan(0.736435742960446)-π/2
    2×0.634763314812862-π/2
    1.26952662962572-1.57079632675     		φ = -0.30126970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18508437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.604553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30126970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.261482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69397 KachelY 71918 0.18508437 -0.30126970 10.604553 -17.261482
    Oben rechts KachelX + 1 69398 KachelY 71918 0.18513231 -0.30126970 10.607300 -17.261482
    Unten links KachelX 69397 KachelY + 1 71919 0.18508437 -0.30131547 10.604553 -17.264105
    Unten rechts KachelX + 1 69398 KachelY + 1 71919 0.18513231 -0.30131547 10.607300 -17.264105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30126970--0.30131547) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30126970--0.30131547) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18508437-0.18513231) × cos(-0.30126970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954960497152958 × 6371000     		do = 291.669516513688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18508437-0.18513231) × cos(-0.30131547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954946914685166 × 6371000     		du = 291.665368078411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30126970)-sin(-0.30131547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954960497152958-0.954946914685166)×R²
    abs(0.18513231-0.18508437)×1.35824677924834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.35824677924834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.35824677924834e-05×40589641000000     		ar = 85050.4216056532m²