Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69386 / 71930
↖ ↑ ↗
← S 17.292954°
E 10.574341°		 ← 291.62 m → S 17.292954°
E 10.577087°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 17.295576°
E 10.574341°		 ← 291.62 m →
85 036 m²		 S 17.295576°
E 10.577087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529376983642578 y=0.548786163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529376983642578 × 217)
    floor (0.529376983642578 × 131072)
    floor (69386.5)     		tx = 69386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548786163330078 × 217)
    floor (0.548786163330078 × 131072)
    floor (71930.5)     		ty = 71930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69386 / 71930 ti = "17/69386/71930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69386/71930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69386 ÷ 217
    69386 ÷ 131072     		x = 0.529373168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71930 ÷ 217
    71930 ÷ 131072     		y = 0.548782348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529373168945312 × 2 - 1) × π
    0.058746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18455706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548782348632812 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.306508536170639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18455706} λ = 0.18455706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306508536170639))-π/2
    2×atan(0.736012235426511)-π/2
    2×0.63448867119408-π/2
    1.26897734238816-1.57079632675     		φ = -0.30181898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18455706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30181898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.292954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69386 KachelY 71930 0.18455706 -0.30181898 10.574341 -17.292954
    Oben rechts KachelX + 1 69387 KachelY 71930 0.18460500 -0.30181898 10.577087 -17.292954
    Unten links KachelX 69386 KachelY + 1 71931 0.18455706 -0.30186475 10.574341 -17.295576
    Unten rechts KachelX + 1 69387 KachelY + 1 71931 0.18460500 -0.30186475 10.577087 -17.295576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30181898--0.30186475) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30181898--0.30186475) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18455706-0.18460500) × cos(-0.30181898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954797363621654 × 6371000     		do = 291.61969133417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18455706-0.18460500) × cos(-0.30186475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954783757147854 × 6371000     		du = 291.615535566841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30181898)-sin(-0.30186475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954797363621654-0.954783757147854)×R²
    abs(0.18460500-0.18455706)×1.36064737995545e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36064737995545e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36064737995545e-05×40589641000000     		ar = 85035.8914808025m²