Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69385 / 71926
↖ ↑ ↗
← S 17.282464°
E 10.571594°		 ← 291.58 m → S 17.282464°
E 10.574341°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 17.285086°
E 10.571594°		 ← 291.57 m →
85 023 m²		 S 17.285086°
E 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529369354248047 y=0.548755645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529369354248047 × 217)
    floor (0.529369354248047 × 131072)
    floor (69385.5)     		tx = 69385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548755645751953 × 217)
    floor (0.548755645751953 × 131072)
    floor (71926.5)     		ty = 71926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69385 / 71926 ti = "17/69385/71926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69385/71926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69385 ÷ 217
    69385 ÷ 131072     		x = 0.529365539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71926 ÷ 217
    71926 ÷ 131072     		y = 0.548751831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529365539550781 × 2 - 1) × π
    0.0587310791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18450913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548751831054688 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306316788572159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18450913} λ = 0.18450913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306316788572159))-π/2
    2×atan(0.736153377536504)-π/2
    2×0.634580213853066-π/2
    1.26916042770613-1.57079632675     		φ = -0.30163590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18450913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.571594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30163590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.282464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69385 KachelY 71926 0.18450913 -0.30163590 10.571594 -17.282464
    Oben rechts KachelX + 1 69386 KachelY 71926 0.18455706 -0.30163590 10.574341 -17.282464
    Unten links KachelX 69385 KachelY + 1 71927 0.18450913 -0.30168167 10.571594 -17.285086
    Unten rechts KachelX + 1 69386 KachelY + 1 71927 0.18455706 -0.30168167 10.574341 -17.285086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30163590--0.30168167) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30163590--0.30168167) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18450913-0.18455706) × cos(-0.30163590) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954851769514585 × 6371000     		do = 291.575474688075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18450913-0.18455706) × cos(-0.30168167) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954838171041749 × 6371000     		du = 291.571322230805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30163590)-sin(-0.30168167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954851769514585-0.954838171041749)×R²
    abs(0.18455706-0.18450913)×1.35984728357741e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.35984728357741e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.35984728357741e-05×40589641000000     		ar = 85022.9983597825m²