Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69384 / 71922
↖ ↑ ↗
← S 17.271973°
E 10.568848°		 ← 291.65 m → S 17.271973°
E 10.571594°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
S 17.274596°
E 10.568848°		 ← 291.65 m →
85 064 m²		 S 17.274596°
E 10.571594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529361724853516 y=0.548725128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529361724853516 × 217)
    floor (0.529361724853516 × 131072)
    floor (69384.5)     		tx = 69384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548725128173828 × 217)
    floor (0.548725128173828 × 131072)
    floor (71922.5)     		ty = 71922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69384 / 71922 ti = "17/69384/71922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69384/71922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69384 ÷ 217
    69384 ÷ 131072     		x = 0.52935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71922 ÷ 217
    71922 ÷ 131072     		y = 0.548721313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52935791015625 × 2 - 1) × π
    0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548721313476562 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.306125040973679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18446119} λ = 0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306125040973679))-π/2
    2×atan(0.736294546712752)-π/2
    2×0.634671761726917-π/2
    1.26934352345383-1.57079632675     		φ = -0.30145280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30145280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.271973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69384 KachelY 71922 0.18446119 -0.30145280 10.568848 -17.271973
    Oben rechts KachelX + 1 69385 KachelY 71922 0.18450913 -0.30145280 10.571594 -17.271973
    Unten links KachelX 69384 KachelY + 1 71923 0.18446119 -0.30149858 10.568848 -17.274596
    Unten rechts KachelX + 1 69385 KachelY + 1 71923 0.18450913 -0.30149858 10.571594 -17.274596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30145280--0.30149858) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30145280--0.30149858) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18446119-0.18450913) × cos(-0.30145280) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954906149340677 × 6371000     		do = 291.652917292904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18446119-0.18450913) × cos(-0.30149858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95489255590062 × 6371000     		du = 291.648765506416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30145280)-sin(-0.30149858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954906149340677-0.95489255590062)×R²
    abs(0.18450913-0.18446119)×1.35934400571358e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.35934400571358e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.35934400571358e-05×40589641000000     		ar = 85064.1618480961m²