Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69382 / 71934
↖ ↑ ↗
← S 17.303443°
E 10.563355°		 ← 291.54 m → S 17.303443°
E 10.566101°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 17.306066°
E 10.563355°		 ← 291.54 m →
85 013 m²		 S 17.306066°
E 10.566101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529346466064453 y=0.548816680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529346466064453 × 217)
    floor (0.529346466064453 × 131072)
    floor (69382.5)     		tx = 69382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548816680908203 × 217)
    floor (0.548816680908203 × 131072)
    floor (71934.5)     		ty = 71934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69382 / 71934 ti = "17/69382/71934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69382/71934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69382 ÷ 217
    69382 ÷ 131072     		x = 0.529342651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71934 ÷ 217
    71934 ÷ 131072     		y = 0.548812866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529342651367188 × 2 - 1) × π
    0.058685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18436532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548812866210938 × 2 - 1) × π
    -0.097625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.306700283769119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18436532} λ = 0.18436532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306700283769119))-π/2
    2×atan(0.735871120377584)-π/2
    2×0.634397133752731-π/2
    1.26879426750546-1.57079632675     		φ = -0.30200206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18436532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30200206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.303443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69382 KachelY 71934 0.18436532 -0.30200206 10.563355 -17.303443
    Oben rechts KachelX + 1 69383 KachelY 71934 0.18441325 -0.30200206 10.566101 -17.303443
    Unten links KachelX 69382 KachelY + 1 71935 0.18436532 -0.30204783 10.563355 -17.306066
    Unten rechts KachelX + 1 69383 KachelY + 1 71935 0.18441325 -0.30204783 10.566101 -17.306066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30200206--0.30204783) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30200206--0.30204783) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18436532-0.18441325) × cos(-0.30200206) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954742925725551 × 6371000     		do = 291.542237927703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18436532-0.18441325) × cos(-0.30204783) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.954729311251244 × 6371000     		du = 291.538080584191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30200206)-sin(-0.30204783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954742925725551-0.954729311251244)×R²
    abs(0.18441325-0.18436532)×1.36144743073663e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36144743073663e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36144743073663e-05×40589641000000     		ar = 85013.3057857738m²