Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69380 / 71928
↖ ↑ ↗
← S 17.287709°
E 10.557861°		 ← 291.63 m → S 17.287709°
E 10.560608°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 17.290331°
E 10.557861°		 ← 291.62 m →
85 038 m²		 S 17.290331°
E 10.560608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529331207275391 y=0.548770904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529331207275391 × 217)
    floor (0.529331207275391 × 131072)
    floor (69380.5)     		tx = 69380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548770904541016 × 217)
    floor (0.548770904541016 × 131072)
    floor (71928.5)     		ty = 71928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69380 / 71928 ti = "17/69380/71928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69380/71928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69380 ÷ 217
    69380 ÷ 131072     		x = 0.529327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71928 ÷ 217
    71928 ÷ 131072     		y = 0.54876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529327392578125 × 2 - 1) × π
    0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.306412662371399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18426944} λ = 0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306412662371399))-π/2
    2×atan(0.73608280309855)-π/2
    2×0.634534441871542-π/2
    1.26906888374308-1.57079632675     		φ = -0.30172744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30172744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.287709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69380 KachelY 71928 0.18426944 -0.30172744 10.557861 -17.287709
    Oben rechts KachelX + 1 69381 KachelY 71928 0.18431738 -0.30172744 10.560608 -17.287709
    Unten links KachelX 69380 KachelY + 1 71929 0.18426944 -0.30177321 10.557861 -17.290331
    Unten rechts KachelX + 1 69381 KachelY + 1 71929 0.18431738 -0.30177321 10.560608 -17.290331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30172744--0.30177321) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30172744--0.30177321) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18426944-0.18431738) × cos(-0.30172744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95482457056863 × 6371000     		do = 291.628001036084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18426944-0.18431738) × cos(-0.30177321) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.954810968095255 × 6371000     		du = 291.623846490587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30172744)-sin(-0.30177321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95482457056863-0.954810968095255)×R²
    abs(0.18431738-0.18426944)×1.36024733745632e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36024733745632e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36024733745632e-05×40589641000000     		ar = 85038.3147735413m²