Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6938 / 5364
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
W 27.553711°		 ← 1 482.53 m → N 52.643064°
W 27.531738°		 →
↑
1 482.79 m
↓
↑
1 482.79 m
↓
N 52.629729°
W 27.553711°		 ← 1 482.98 m →
2 198 609 m²		 N 52.629729°
W 27.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423492431640625 y=0.327423095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423492431640625 × 214)
    floor (0.423492431640625 × 16384)
    floor (6938.5)     		tx = 6938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327423095703125 × 214)
    floor (0.327423095703125 × 16384)
    floor (5364.5)     		ty = 5364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6938 / 5364 ti = "14/6938/5364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6938/5364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6938 ÷ 214
    6938 ÷ 16384     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5364 ÷ 214
    5364 ÷ 16384     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6938 KachelY 5364 -0.48090298 0.91879479 -27.553711 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 6939 KachelY 5364 -0.48051948 0.91879479 -27.531738 52.643064
    Unten links KachelX 6938 KachelY + 1 5365 -0.48090298 0.91856205 -27.553711 52.629729
    Unten rechts KachelX + 1 6939 KachelY + 1 5365 -0.48051948 0.91856205 -27.531738 52.629729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91856205) × R
    0.000232739999999954 × 6371000     		dl = 1482.7865399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91856205) × R
    0.000232739999999954 × 6371000     		dr = 1482.7865399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48051948) × cos(0.91879479) × R
    0.000383499999999981 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 1482.52906721243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48051948) × cos(0.91856205) × R
    0.000383499999999981 × 0.606963565271618 × 6371000     		du = 1482.98102931142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91856205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606963565271618)×R²
    abs(-0.48051948--0.48090298)×0.00018498181807125×R²
    0.000383499999999981×0.00018498181807125×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018498181807125×40589641000000     		ar = 2198609.23760433m²