Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6938 / 2842
↖ ↑ ↗
← N 48.166086°
E124.892578°		 ← 3 259.16 m → N 48.166086°
E124.936523°		 →
↑
3 260.10 m
↓
↑
3 260.10 m
↓
N 48.136767°
E124.892578°		 ← 3 261.02 m →
10 628 245 m²		 N 48.136767°
E124.936523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84698486328125 y=0.34698486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84698486328125 × 213)
    floor (0.84698486328125 × 8192)
    floor (6938.5)     		tx = 6938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34698486328125 × 213)
    floor (0.34698486328125 × 8192)
    floor (2842.5)     		ty = 2842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6938 / 2842 ti = "13/6938/2842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6938/2842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6938 ÷ 213
    6938 ÷ 8192     		x = 0.846923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2842 ÷ 213
    2842 ÷ 8192     		y = 0.346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.846923828125 × 2 - 1) × π
    0.69384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.17978670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.17978670} λ = 2.17978670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961805953976807))-π/2
    2×atan(2.61641733860505)-π/2
    2×1.20572655256758-π/2
    2.41145310513516-1.57079632675     		φ = 0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.17978670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 124.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6938 KachelY 2842 2.17978670 0.84065678 124.892578 48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 6939 KachelY 2842 2.18055369 0.84065678 124.936523 48.166086
    Unten links KachelX 6938 KachelY + 1 2843 2.17978670 0.84014507 124.892578 48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 6939 KachelY + 1 2843 2.18055369 0.84014507 124.936523 48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84065678-0.84014507) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dl = 3260.10440999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84065678-0.84014507) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dr = 3260.10440999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.17978670-2.18055369) × cos(0.84065678) × R
    0.000766989999999801 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 3259.16209532873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.17978670-2.18055369) × cos(0.84014507) × R
    0.000766989999999801 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 3261.02472019693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84065678)-sin(0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.667354793440794)×R²
    abs(2.18055369-2.17978670)×0.000381178231025792×R²
    0.000766989999999801×0.000381178231025792×6371000²
    0.000766989999999801×0.000381178231025792×40589641000000     		ar = 10628245.1275752m²