Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69377 / 93951
↖ ↑ ↗
← S 61.268912°
E 10.549621°		 ← 146.82 m → S 61.268912°
E 10.552368°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
S 61.270233°
E 10.549621°		 ← 146.81 m →
21 560 m²		 S 61.270233°
E 10.552368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529308319091797 y=0.716793060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529308319091797 × 217)
    floor (0.529308319091797 × 131072)
    floor (69377.5)     		tx = 69377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716793060302734 × 217)
    floor (0.716793060302734 × 131072)
    floor (93951.5)     		ty = 93951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69377 / 93951 ti = "17/69377/93951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69377/93951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69377 ÷ 217
    69377 ÷ 131072     		x = 0.529304504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93951 ÷ 217
    93951 ÷ 131072     		y = 0.716789245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529304504394531 × 2 - 1) × π
    0.0586090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18412563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716789245605469 × 2 - 1) × π
    -0.433578491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.3621270027039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18412563} λ = 0.18412563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3621270027039))-π/2
    2×atan(0.256115438960284)-π/2
    2×0.250726036958384-π/2
    0.501452073916767-1.57079632675     		φ = -1.06934425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18412563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.549621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06934425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.268912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69377 KachelY 93951 0.18412563 -1.06934425 10.549621 -61.268912
    Oben rechts KachelX + 1 69378 KachelY 93951 0.18417357 -1.06934425 10.552368 -61.268912
    Unten links KachelX 69377 KachelY + 1 93952 0.18412563 -1.06936730 10.549621 -61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 69378 KachelY + 1 93952 0.18417357 -1.06936730 10.552368 -61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06934425--1.06936730) × R
    2.30499999998024e-05 × 6371000     		dl = 146.851549998741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06934425--1.06936730) × R
    2.30499999998024e-05 × 6371000     		dr = 146.851549998741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18412563-0.18417357) × cos(-1.06934425) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.480699349989346 × 6371000     		do = 146.817954688004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18412563-0.18417357) × cos(-1.06936730) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 146.81178131975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06934425)-sin(-1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480699349989346-0.480679137651468)×R²
    abs(0.18417357-0.18412563)×2.02123378774677e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.02123378774677e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.02123378774677e-05×40589641000000     		ar = 21559.9909302654m²