Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69376 / 93952
↖ ↑ ↗
← S 61.270233°
E 10.546875°		 ← 146.81 m → S 61.270233°
E 10.549621°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
S 61.271553°
E 10.546875°		 ← 146.81 m →
21 550 m²		 S 61.271553°
E 10.549621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529300689697266 y=0.716800689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529300689697266 × 217)
    floor (0.529300689697266 × 131072)
    floor (69376.5)     		tx = 69376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716800689697266 × 217)
    floor (0.716800689697266 × 131072)
    floor (93952.5)     		ty = 93952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69376 / 93952 ti = "17/69376/93952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69376/93952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69376 ÷ 217
    69376 ÷ 131072     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93952 ÷ 217
    93952 ÷ 131072     		y = 0.716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716796875 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36217493960352))-π/2
    2×atan(0.25610316187446)-π/2
    2×0.250714515582355-π/2
    0.501429031164709-1.57079632675     		φ = -1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69376 KachelY 93952 0.18407769 -1.06936730 10.546875 -61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 69377 KachelY 93952 0.18412563 -1.06936730 10.549621 -61.270233
    Unten links KachelX 69376 KachelY + 1 93953 0.18407769 -1.06939034 10.546875 -61.271553
    Unten rechts KachelX + 1 69377 KachelY + 1 93953 0.18412563 -1.06939034 10.549621 -61.271553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06936730--1.06939034) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dl = 146.787840000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06936730--1.06939034) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dr = 146.787840000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(-1.06936730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 146.811781319835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(-1.06939034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.480658933827281 × 6371000     		du = 146.805610551882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06936730)-sin(-1.06939034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.480658933827281)×R²
    abs(0.18412563-0.18407769)×2.02038241874369e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02038241874369e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02038241874369e-05×40589641000000     		ar = 21549.731370622m²