Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6936 / 5572
↖ ↑ ↗
← N 49.781264°
W 27.597656°		 ← 1 577.64 m → N 49.781264°
W 27.575683°		 →
↑
1 577.84 m
↓
↑
1 577.84 m
↓
N 49.767074°
W 27.597656°		 ← 1 578.11 m →
2 489 636 m²		 N 49.767074°
W 27.575683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423370361328125 y=0.340118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423370361328125 × 214)
    floor (0.423370361328125 × 16384)
    floor (6936.5)     		tx = 6936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340118408203125 × 214)
    floor (0.340118408203125 × 16384)
    floor (5572.5)     		ty = 5572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6936 / 5572 ti = "14/6936/5572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6936/5572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6936 ÷ 214
    6936 ÷ 16384     		x = 0.42333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5572 ÷ 214
    5572 ÷ 16384     		y = 0.340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340087890625 × 2 - 1) × π
    0.31982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00475741603638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48166997} λ = -0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00475741603638))-π/2
    2×atan(2.73124463630718)-π/2
    2×1.21982164519814-π/2
    2.43964329039628-1.57079632675     		φ = 0.86884696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86884696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.781264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6936 KachelY 5572 -0.48166997 0.86884696 -27.597656 49.781264
    Oben rechts KachelX + 1 6937 KachelY 5572 -0.48128647 0.86884696 -27.575683 49.781264
    Unten links KachelX 6936 KachelY + 1 5573 -0.48166997 0.86859930 -27.597656 49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 6937 KachelY + 1 5573 -0.48128647 0.86859930 -27.575683 49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86884696-0.86859930) × R
    0.000247659999999983 × 6371000     		dl = 1577.84185999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86884696-0.86859930) × R
    0.000247659999999983 × 6371000     		dr = 1577.84185999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48166997--0.48128647) × cos(0.86884696) × R
    0.000383499999999981 × 0.645707420233467 × 6371000     		do = 1577.64305714682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48166997--0.48128647) × cos(0.86859930) × R
    0.000383499999999981 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 1578.10505579037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86884696)-sin(0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645707420233467-0.645896509870014)×R²
    abs(-0.48128647--0.48166997)×0.00018908963654729×R²
    0.000383499999999981×0.00018908963654729×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018908963654729×40589641000000     		ar = 2489635.74882914m²