Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69345 / 97249
↖ ↑ ↗
← S 65.331324°
E 10.461731°		 ← 127.48 m → S 65.331324°
E 10.464478°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
S 65.332471°
E 10.461731°		 ← 127.47 m →
16 251 m²		 S 65.332471°
E 10.464478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529064178466797 y=0.741954803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529064178466797 × 217)
    floor (0.529064178466797 × 131072)
    floor (69345.5)     		tx = 69345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741954803466797 × 217)
    floor (0.741954803466797 × 131072)
    floor (97249.5)     		ty = 97249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69345 / 97249 ti = "17/69345/97249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69345/97249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69345 ÷ 217
    69345 ÷ 131072     		x = 0.529060363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97249 ÷ 217
    97249 ÷ 131072     		y = 0.741950988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529060363769531 × 2 - 1) × π
    0.0581207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18259165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741950988769531 × 2 - 1) × π
    -0.483901977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52022289765084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18259165} λ = 0.18259165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52022289765084))-π/2
    2×atan(0.21866314201917)-π/2
    2×0.215274806701514-π/2
    0.430549613403028-1.57079632675     		φ = -1.14024671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18259165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.461731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14024671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.331324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69345 KachelY 97249 0.18259165 -1.14024671 10.461731 -65.331324
    Oben rechts KachelX + 1 69346 KachelY 97249 0.18263959 -1.14024671 10.464478 -65.331324
    Unten links KachelX 69345 KachelY + 1 97250 0.18259165 -1.14026672 10.461731 -65.332471
    Unten rechts KachelX + 1 69346 KachelY + 1 97250 0.18263959 -1.14026672 10.464478 -65.332471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14024671--1.14026672) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14024671--1.14026672) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18259165-0.18263959) × cos(-1.14024671) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417370322282189 × 6371000     		do = 127.475639537066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18259165-0.18263959) × cos(-1.14026672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417352138381403 × 6371000     		du = 127.470085705713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14024671)-sin(-1.14026672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417370322282189-0.417352138381403)×R²
    abs(0.18263959-0.18259165)×1.81839007853957e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81839007853957e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81839007853957e-05×40589641000000     		ar = 16250.7134520134m²