Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69334 / 44038
↖ ↑ ↗
← N 50.726024°
E 10.431518°		 ← 193.34 m → N 50.726024°
E 10.434265°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
N 50.724285°
E 10.431518°		 ← 193.35 m →
37 386 m²		 N 50.724285°
E 10.434265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528980255126953 y=0.335987091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528980255126953 × 217)
    floor (0.528980255126953 × 131072)
    floor (69334.5)     		tx = 69334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335987091064453 × 217)
    floor (0.335987091064453 × 131072)
    floor (44038.5)     		ty = 44038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69334 / 44038 ti = "17/69334/44038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69334/44038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69334 ÷ 217
    69334 ÷ 131072     		x = 0.528976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44038 ÷ 217
    44038 ÷ 131072     		y = 0.335983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528976440429688 × 2 - 1) × π
    0.057952880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18206434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335983276367188 × 2 - 1) × π
    0.328033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03054746803197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18206434} λ = 0.18206434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03054746803197))-π/2
    2×atan(2.8025997485451)-π/2
    2×1.22806623359923-π/2
    2.45613246719847-1.57079632675     		φ = 0.88533614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18206434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88533614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.726024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69334 KachelY 44038 0.18206434 0.88533614 10.431518 50.726024
    Oben rechts KachelX + 1 69335 KachelY 44038 0.18211228 0.88533614 10.434265 50.726024
    Unten links KachelX 69334 KachelY + 1 44039 0.18206434 0.88530579 10.431518 50.724285
    Unten rechts KachelX + 1 69335 KachelY + 1 44039 0.18211228 0.88530579 10.434265 50.724285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88533614-0.88530579) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dl = 193.359850000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88533614-0.88530579) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dr = 193.359850000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18206434-0.18211228) × cos(0.88533614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		do = 193.343449092709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18206434-0.18211228) × cos(0.88530579) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633052816419522 × 6371000     		du = 193.350624914002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88533614)-sin(0.88530579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633029321931819-0.633052816419522)×R²
    abs(0.18211228-0.18206434)×2.3494487703779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3494487703779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3494487703779e-05×40589641000000     		ar = 37385.5540758814m²